$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ เพื่อทุกสิ่ง $n.$
ปล่อย $(X,S,\mu)$ วัดพื้นที่และปล่อยให้ $(A_n), (B_n)$ สองลำดับขององค์ประกอบของ S. If $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ สำหรับ n พิสูจน์ทั้งหมดมีดังต่อไปนี้ $\mu-$ชุดค่าว่าง ($\mu(E)=0$ สำหรับ $E\in$S):
ผม) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.
ii) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.
สาม) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.
iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.
สำหรับ (i) ฉันพิสูจน์แล้วว่า $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, เพราะ $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ และ $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ ไม่ปะติดปะต่อกันแล้ว $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ สำหรับ n ทั้งหมด แต่ $\mu$ ไม่เป็นลบแล้ว $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.
สำหรับ (ii) ฉันใช้สิ่งนั้น $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ แล้ว $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.
แต่สำหรับ (iii) และ (iv) ฉันไม่แน่ใจ
คำตอบ
เราต้องการตัวตนทั่วไป:
ปล่อย $K$ชุดดัชนี จากนั้น:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ เอกลักษณ์แรก: ถ้า $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ แต่ $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$แล้ว $a\in X_{k_0}$ และ $a\notin Y_{k_0}$ดังนั้น $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, สำหรับบางคน $k_0\in K$. อีกกรณีก็คล้ายกัน
ประการที่สอง: คำจำกัดความของความแตกต่างของชุด
สาม: ใช้ตัวแรกและตัวที่สองและ De-Morgan
การตอบ (i) และ (ii) เป็นแอปพลิเคชันง่ายๆของ id ด้านบน + $\sigma$- ความละเอียดอ่อนของการวัด
สำหรับ (iii): set $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ และ $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. แล้ว$X_n \triangle Y_n$ เป็นเซตโมฆะ: มันถูกครอบด้วยยูเนี่ยนของเซ็ตว่าง $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$โดยเอกลักษณ์แรก
ตอนนี้ความสัมพันธ์ $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ มีนัยในทำนองเดียวกันว่า $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.
$\underline{\lim}$ กรณีเกือบจะเหมือนกัน