เงื่อนไขการบรรจบกันสำหรับรูปแบบการวนซ้ำ
ปล่อย $A$เป็นเมทริกซ์เอกพจน์และสมมาตรโดยมี$\lambda_1=0$ และ $\lambda_i >0$ สำหรับ $i=2,\ldots,n$.
พิจารณาการทำซ้ำ
$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$
ภายใต้เงื่อนไขใด $x_0$, $\alpha$ และ $b$มันบรรจบกับคำตอบที่แท้จริงของ $Ax =b$เหรอ?
ฉันขยับไม่ได้จริงๆ ฉันพยายามคำนวณ$e_{k+1}$แต่ฉันไม่พบความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์ นอกจากนี้ฉันไม่รู้ว่าจะหาข้อ จำกัด บางอย่างได้อย่างไร$x_0$.
แก้ไข
ฉันพยายามทำตามความคิดเห็นของ @uranix และพบว่า: $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$
ซึ่งฉันเขียนใหม่ (โดยใช้ความสอดคล้อง) เป็น $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$
ดังนั้น $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$
ตอนนี้ฉันต้องการให้รัศมีสเปกตรัมน้อยกว่า $1$, แต่ตั้งแต่ $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ ฉันมีค่าลักษณะเฉพาะแรกคือ $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$
ดังนั้นฉันไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับการบรรจบกันได้ ... ต้องมีวิธีอื่น อันที่จริงฉันไม่ได้ใช้สมมาตรและไม่มีเงื่อนไขใด ๆ$x_0$ตามที่เขียนไว้ในข้อความ
คำตอบ
คำใบ้เล็กน้อย
ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นให้พิจารณาตามค่าเฉพาะ เวกเตอร์พื้นฐานมีลักษณะตั้งฉากกันและอาจถูกปรับขนาดให้เป็นพื้นฐานปกติ:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$
การขยายเวกเตอร์ข้อผิดพลาดบนพื้นฐาน $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$อนุญาตให้เขียนเงื่อนไขคอนเวอร์เจนซ์ใหม่โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว ใช้เอกลักษณ์ของ Parseval$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ เราได้รับสิ่งนั้น $e_k \to 0$ เกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด $m$ ค่าสัมประสิทธิ์แต่ละตัวจะรวมกันเป็นศูนย์นั่นคือ $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$
ทำหน้าที่ด้วย $(I - \alpha A)^k$ บน $e_0$ ทำหน้าที่ในแต่ละค่าลักษณะเฉพาะแยกกัน: $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$
เปรียบเทียบด้านขวามือกับ $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ เราได้รับความสัมพันธ์ทันที $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$
ตอนนี้ขึ้นอยู่กับคุณแล้วว่าจะค้นหาเงื่อนไขเมื่อใด $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ สำหรับทุกๆ $m = 1,\dots,n$.