นิยามของคำจำกัดความคืออะไร?
ในตรรกะทางคณิตศาสตร์หรือระบบที่เป็นทางการอื่น ๆ คำจำกัดความของคำจำกัดความอย่างเป็นทางการคืออะไร?
ถ้ากำหนด "A" เป็น "B" คำจำกัดความของ "A" คืออะไร? เกี่ยวข้องกับทั้ง "A" และ "B" (เช่น "A: = B") หรือแค่ "B"?
ตัวอย่างเช่นในP126ในวรรค 3 ส่วนขยายตามคำจำกัดความในการตีความวากยสัมพันธ์ VIII และรูปแบบปกติในลอจิกทางคณิตศาสตร์ของ Ebbinghaus สมมติว่า$S$ เป็นชุดสัญลักษณ์ (ไม่ใช่ตรรกะ)
3.1 คำจำกัดความ ปล่อย$\Phi$ เป็นชุดของ $S$- ความรู้สึก.
(ก) สมมติว่า $P \notin S$ เป็น $n$สัญลักษณ์ความสัมพันธ์ -ary และ $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ ก $S$-สูตร. แล้วเราว่า$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ เป็น $S$-ความหมายของ $P$ ใน $\Phi$.
ซึ่งฉันจะเรียกว่า $S$-ความหมายของ $P$ ใน $\Phi$:
$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $เหรอ?
เป็นวงกลมเพื่อกำหนด $P$ ในแง่ของตัวมันเอง?
เป็น $𝑆$-ความหมายของ $𝑃$ ใน $Φ$ การตีความสัญลักษณ์ $P$ เป็น $S'$-ประโยค? (เป็นส่วนหนึ่งของการตีความวากยสัมพันธ์ของ$S'$ ใน $S'$ ตัวเอง?)
เป็นลักษณะของ $P$ ในนิยามของมันเอง $∀ 𝑣_0,....∀ 𝑣_{𝑛−1}(𝑃𝑣_0...v_{𝑛−1}↔𝜙_𝑃(𝑣_0,...,𝑣_{𝑛−1}))$ในความหมายเดียวกับการปรากฏตัวของ $A$ ใน $𝐴:=𝐵$เหรอ?
$\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $เหรอ? (ฉันเดาว่า$P$ ถูกกำหนดให้เป็น $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ ใน $\Phi$.)
$\phi_P$เหรอ? (เปรียบเทียบกับวินาที:$P$ ตัวเองไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปร)
ดูคำจำกัดความนี้กำหนดสัญลักษณ์อย่างไร$P$ นอกชุดสัญลักษณ์ $S$ เป็น $S$-ประโยค?
ขอบคุณ.
คำตอบ
เรามีลายเซ็น $S$ และเราขยายไปถึง $S':=S\cup\{P\}$.
$S$-ความหมายของ $P$ คือ $S'$-สูตร $$\forall v_0\dots v_{n-1}: Pv_0\dots v_{n-1}\leftrightarrow \phi_P(v_0,\dots,v_{n-1})$$ซึ่งสามารถจัดการอย่างเป็นทางการเป็นสัจพจน์พิเศษของที่กำหนด$S$- ทฤษฎีที่เรากำลังดำเนินการอยู่จึงสร้างสิ่งที่เทียบเท่ากัน $S'$- ทฤษฎีซึ่งเป็นสัญลักษณ์ $P$สามารถใช้เป็นตัวย่อสำหรับสูตรได้$\phi_P$.
ตัวอย่างเช่นสูตรด้านล่างคือคำจำกัดความของความสัมพันธ์การสั่งซื้อตามปกติ $\le$ ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบในภาษา $(0,+)$: $$\forall x,y:\ x\le y\,\leftrightarrow\,\exists z: x+z=y$$
ด้านล่างนี้ก่อนอื่นฉันจะพยายามอธิบายกระบวนการด้วยวิธีที่ง่ายขึ้นจากนั้นจึงจัดการกับความกังวลของคุณเกี่ยวกับความเป็นวงกลม ฉันสงสัยว่าประเด็นหลังอาจเป็นประโยชน์มากกว่าดังนั้นอย่าลังเลที่จะอ่านส่วนที่สองก่อน - และโดยเฉพาะอย่างยิ่งคำขวัญที่ไฮไลต์ในนั้นฉันคิดว่ามีประโยชน์มากทีเดียว
(Re: ความคิดเห็นสุดท้ายของคุณคำจำกัดความคือ $(1)$- สิ่งที่บอกคุณว่าสัญลักษณ์ใหม่ทำงานอย่างไรในแง่ของสัญลักษณ์เก่าที่คุณมีอยู่แล้วและเข้าใจ)
วลีสำคัญในที่นี้คือ " การขยายตัวตามคำจำกัดความ "
โดยสัญชาตญาณเราคำนึงถึงกระบวนการต่อไปนี้:
เริ่มต้นด้วยลายเซ็น $S$ และบางชุด $\Phi$ ของ $S$- ความรู้สึกเรารู้สึกรำคาญเล็กน้อยจากความไร้ประสิทธิภาพ : มีบางสิ่งที่เราสามารถพูดถึงโดยใช้$S$- สูตร แต่เป็นแบบวงเวียนเท่านั้น ลองนึกถึงภาษาของทฤษฎีเซต$\{\in\}$: เราแสดงออกได้เช่น "$x$ เป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ $y$ และ $z$"ในภาษานี้ แต่ใช้สูตรที่ยาวจนน่ารำคาญเท่านั้น(เป็นแบบฝึกหัดที่ดีในการจัดการกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ - โดยใช้พูดว่าคูราทอวสกี)
ดังนั้นด้วยสูตรที่ซับซ้อนจริงๆของเรา $\varphi(x_0,...,x_{n-1})$เราต้องการสร้างทฤษฎีใหม่ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วก็เหมือนกับ $\Phi$ ยกเว้นว่าจะมี "ตัวย่อ" เพิ่มเติมสำหรับ $\varphi$.
ประการแรกหมายความว่าเราต้องการขยายภาษาของเรา: แทนที่จะใช้งาน $S$ เราต้องการทำงานด้วย $S\cup\{R\}$ สำหรับบางคน $n$สัญลักษณ์ความสัมพันธ์ -ary $R\not\in S$ ซึ่งเราตั้งใจจะใช้เป็นตัวย่อของ $\varphi$.
ตอนนี้เราต้องกำหนดทฤษฎีในภาษาที่ใหญ่กว่านี้ ทฤษฎีนี้ควรย่อยสิ่งที่เรามีอยู่แล้ว (นั่นคือ$\Phi$) ควรกำหนดพฤติกรรมของ $R$ (กล่าวคือเป็นคำย่อของ $\varphi$) และไม่ควรทำอย่างอื่น สิ่งนี้ทำให้เราต้องพิจารณาทฤษฎีใหม่$$\Phi':=\Phi\cup\{\forall x_0,...,x_{n-1}(R(x_0,...,x_{n-1})\leftrightarrow \varphi(x_0,...,x_{n-1})\}.$$
เนื้อเรื่องจาก $S,\Phi$และ $\varphi$ ถึง $S\cup\{R\}$ และ $\Phi'$เป็นขยายตัวโดยคำจำกัดความ เรามีความซ้ำซ้อนบางอย่างที่นี่: ในแง่ที่ชัดเจน$\Phi'$ ไม่มีอะไรดีไปกว่า $\Phi$. (อย่างเป็นทางการ$\Phi'$เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ$\Phi$ ในแง่ที่แข็งแกร่งที่สุด: ทุกรุ่นของ $\Phi$ มีการขยายไปยังรูปแบบของ $\Phi'$.) นี่ไม่น่าแปลกใจเลย เรารู้แล้วว่าเราสามารถแสดงออกถึงสิ่งที่เราห่วงใยได้$\varphi$เราแค่อยากจะทำได้เร็วขึ้น
อนึ่งโปรดทราบว่านี่เป็นการแนะนำทฤษฎีใด ๆ ที่ "มีประสิทธิภาพสูงสุด" ตามธรรมชาติ: เพียงเพิ่มสัญลักษณ์ใหม่สำหรับทุกสูตร! สิ่งนี้เรียกว่าMorleyizationและมีประโยชน์ในบางครั้ง (แม้ว่าจะเป็นเรื่องงี่เง่าก็ตาม)
ตกลงแล้วเรื่องวงกลมที่คุณกังวลล่ะ?
ก่อนอื่นให้สังเกตว่า "$R$"ตัวเองเป็นเพียงสัญลักษณ์ประโยคใหม่ที่เรากำลังเพิ่มไม่ใช่คำจำกัดความของ $R$แต่เป็นคำจำกัดความของความหมายของ $R$หรือหากคุณต้องการกฎที่ควบคุมพฤติกรรมของ$R$.
อย่างจริงจังมากขึ้นวงกลมไม่เคยเป็นปัญหาใน FOL! แนวคิดหลักคือสิ่งต่อไปนี้ซึ่งฉันคิดว่าเป็นการเริ่มต้นที่สำคัญจากสัญชาตญาณที่อาจนำมาจากการเขียนโปรแกรม:
ชุดของประโยคลำดับต้น ๆ ไม่ได้สร้างสิ่งต่าง ๆ แต่อธิบายถึงสิ่งต่างๆ
โดยเฉพาะชุดของประโยคลำดับที่หนึ่ง $\Phi$แกะสลักโครงสร้างเฉพาะชั้นซึ่งเป็นคำอธิบายที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นชุดที่ดูอาจเป็นอันตราย$$\{\forall x(P(x)\leftrightarrow P(x))\}$$ และ $$\{\forall x(Q(x)\leftrightarrow \neg Q(x))\}$$ปราศจากวงกลมอย่างสมบูรณ์แบบ พวกมันเป็นเพียงความว่างเปล่า (= ยึดทุกโครงสร้าง) และขัดแย้งกัน (= ไม่มีโครงสร้าง) ตามลำดับ