เป็นไปได้ไหมที่จะแยกความแตกต่าง $\sin x$ ด้วยความเคารพ $\cos x$ จากหลักการแรก?

Aug 15 2020

วันนี้ฉันทำแบบฝึกหัดเพื่อสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยซึ่งขอให้ฉันแยกความแตกต่าง $\sin x$ ด้วยความเคารพ $\cos x$. วิธีแก้ปัญหาที่ฉันพบใช้กฎลูกโซ่:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

อย่างไรก็ตามยิ่งฉันคิดถึงปัญหานี้มากเท่าไหร่ก็ยิ่งทำให้ฉันรู้สึกอึดอัดเล็กน้อย ฉันไม่ค่อยเข้าใจความหมายของการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับฟังก์ชันอื่นถ้าเป็นไปได้ ผมจึงพยายามแยกความแตกต่าง$\sin x$ ด้วยความเคารพ $\cos x$ จากหลักการข้อแรกฉันจึงรู้ว่ากำลังทำงานกับอะไร:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

แนวคิดเบื้องหลังนี้คือการรักษา $\cos x$เช่นเดียวกับตัวแปรอื่น ๆ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ทำให้ฉันได้รับคำตอบที่ไม่ถูกต้องของ$(\cos \circ \cos)(x)$และฉันไม่เข้าใจว่าทำไม มีวิธีคิดที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับความแตกต่างของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันอื่นหรือไม่?

คำตอบ

3 PacoAdajar Aug 15 2020 at 20:43

คุณต้องการวัดการเปลี่ยนแปลงใน $\sin{x}$ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงใน $\cos{x}$. ดังนั้นคุณต้องการ$\sin{x}$ เป็นหน้าที่ของ $\cos{x}$ซึ่งไม่ใช่สิ่งเดียวกับ $\sin(\cos{x})$. ในนั้นเป็นปัญหาพื้นฐานของคุณ

สิ่งที่คุณต้องการ: ถ้า $x \in [0, \pi]$แล้ว $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$และอื่น ๆ \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} ตามต้องการ

การออกกำลังกาย: จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $x \in [\pi, 2\pi]$เหรอ?

1 enzotib Aug 15 2020 at 20:34

ชุด $y=\cos x$แล้วสำหรับ $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ สำหรับขีด จำกัด คุณควรเขียน $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$