เป็นไปได้หรือไม่ที่จะจำแนกพื้นที่ย่อยที่ไม่ปิดของพื้นที่ของฮิลเบิร์ต
ปล่อย $H$ เป็นพื้นที่ของฮิลเบิร์ต
ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามก่อนหน้าของฉันเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่องอย่างดุเดือดซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นความพยายามที่จะจัดประเภทไฮเปอร์เพลนที่หนาแน่นใน$H$ตอนนี้ให้ฉันตรงไปที่ประเด็น:
คำถาม
มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างไฮเปอร์เพลนหนาแน่นใน $H$เหรอ?
ถ้า $L$ และ $M$ เป็นไฮเปอร์เพลนที่หนาแน่นสองตัวใน $H$มีการทำแผนที่ตัวดำเนินการแบบรวมหรือไม่ $L$ ถึง $M$เหรอ?
สมมติว่าคำตอบของ (2) เป็นลบมีวงโคจรจำนวนเท่าใดสำหรับการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่มที่รวมกัน $\mathscr U(H)$ ในชุดของไฮเปอร์เพลนที่หนาแน่น?
การพูดเกี่ยวกับพื้นที่ย่อยทั่วไป (ไม่จำเป็นต้องปิดหรือหนาแน่น) ของ $H$มีบางสิ่งที่อาจกล่าวได้ในแง่นั้น
ตัวอย่างเช่นอาจไม่สามารถอธิบายช่องว่างดังกล่าวทั้งหมดเป็นช่วงของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีไฮเปอร์เพลนหนาแน่นที่มีคุณสมบัติ เนื่องจากหากช่วงของโอเปอเรเตอร์ดังกล่าวมีมิติร่วมที่ จำกัด ก็จะต้องปิด (สิ่งนี้ง่ายมากจากทฤษฎีบทกราฟปิด)
ช่วงของตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดไม่มีพื้นที่ย่อยปิดมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นจึงเป็นคุณสมบัติอื่นที่สามารถใช้ในการจำแนกพื้นที่ย่อยได้
คำถามเพิ่มเติม
มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอหรือไม่ที่แสดงในแง่ทอพอโลยี / การวิเคราะห์โดยระบุลักษณะของช่วงของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต (resp. compact) ในพื้นที่ย่อยทั้งหมดของ $H$เหรอ?
จำนวนคลาสการเทียบเท่ารวมของพื้นที่ย่อยที่ไม่ปิดของ $H$อยู่หรือเปล่า อาจมีคำอธิบายในลักษณะทอพอโลยี / เชิงวิเคราะห์ได้กี่ข้อ?
คำตอบ
ฉันเดาว่าฉันมีคำตอบง่ายๆสำหรับคำถาม 4 ในกรณีขนาดกะทัดรัด: พื้นที่ย่อยที่มีมิติไม่สิ้นสุด $E\subseteq H$ คือช่วงของตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัด iff มีชุดมุมฉาก (ตรงข้ามกับ orthonormal) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, ดังนั้น $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ และ $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ สิ่งนี้เป็นไปอย่างง่ายดายจากทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดและความจริงที่ว่าช่วงของตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัด $T$ เกิดขึ้นพร้อมกับช่วงของ $|T|$.