แผนที่ทำให้เกิดโครงสร้างในหมวดคอนกรีตเมื่อใด

Aug 20 2020

ปล่อย $C$ เป็นหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมให้ $A$ เป็นชุดให้ $B$ เป็นวัตถุใน $C$และปล่อยให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไปยังชุดพื้นฐานของ $B$. จากนั้นมีวัตถุอยู่เสมอหรือไม่$C$ ซึ่งชุดพื้นฐานคือ $A$ ดังนั้น $f$ เป็น morphism ใน $C$เหรอ? และถ้า$f$ เป็น bijection แล้วมีวัตถุอยู่เสมอหรือไม่ $C$ ซึ่งชุดพื้นฐานคือ $A$ ดังนั้น $f$ คือ isomorphism ใน $C$เหรอ?

ฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้คือไม่ใช่ แต่มีชื่อสำหรับหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมซึ่งคำตอบของคำถามหนึ่งหรือทั้งสองคำถามคือใช่หรือไม่? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเปลี่ยนลำดับของ$A$ และ $B$ดังนั้นเซ็ตที่กำลังเปลี่ยนเป็นอ็อบเจกต์จึงเป็นโคโดเมนของฟังก์ชันแทนที่จะเป็นโดเมน?

ฉันถามเพราะการชักนำให้เกิดโครงสร้างบนเซตผ่านแผนที่เป็นการสร้างที่พบบ่อยในคณิตศาสตร์และฉันสงสัยว่ามันมีต้นกำเนิดจากทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่

คำตอบ

4 Chessanator Aug 20 2020 at 11:54

โดยพื้นฐานแล้วคุณกำลังถามเกี่ยวกับคุณสมบัติการยกของกรวยคอนกรีต$U: C \rightarrow \underline{Set}$. สิ่งนี้จะช่วยให้คุณทราบว่าจะค้นหาอะไรหากคุณต้องการค้นหาข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ โปรดทราบว่าเราสามารถศึกษาคุณสมบัติเหล่านี้ได้เมื่อหมวดหมู่เป้าหมายของ functor เป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่$\underline{Set}$.

Functors ที่เราสามารถยก morphism ได้นั้นหายากมาก โดยทั่วไปแล้วคุณจะไม่คาดหวังว่านักสนุกที่หลงลืมประเภทคอนกรีตจะมีคุณสมบัตินี้เพียงเพราะแนวคิดของหมวดหมู่คอนกรีตคือหน้าที่ส่วนใหญ่ใน$\underline{Set}$ ไม่ใช่สัณฐานของโครงสร้างมากกว่าการประกอบเป็นหมวดคอนกรีต

กรณีที่เราสามารถยก bijections (เฉพาะ isomorphisms ลิฟท์สำหรับหมวดหมู่เป้าหมายทั่วไป) ที่รู้จักกันดีและการศึกษาด้วย functors ในคำถามที่ถูกเรียกว่าisofibrations สัญชาตญาณของคุณที่มีหลายกรณีเช่นนี้มาจากความจริงที่ว่า functor ที่หลงลืมจากหมวดหมู่ของ algebras ของ monad นั้นมักจะเป็น isofibration เสมอ

1 DoctorWho Aug 20 2020 at 11:33

ไม่เพียงแค่พิจารณาหมวดหมู่ $1$ ด้วยวัตถุชิ้นเดียวและหนึ่ง morphism (ตัวตน) และแมปสิ่งนั้นลงใน Set ด้วยวิธีใดก็ได้