เพื่อแสดงจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดอยู่ในเส้นสัมผัสร่วมกับ T
$c_1$ โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $A$ ผ่าน $B$.
$BB′$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของ $c_1$.
$T$ จุดสุ่มในกลุ่ม $BB′$.
$c_2$ โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $B′$ ผ่าน $T$.
$c_3$ โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $B$ ผ่าน $T$.
$c_4$ แทนเจนต์ภายนอกถึง $c_2$ และ $c_3$ และสัมผัสภายในเพื่อ $c_1$
$F$ เป็นศูนย์กลางของ $c_4$ และ $H,I$ คือจุดสัมผัส
เป็นที่ชัดเจนสำหรับฉันว่า $Z = HI \cap AF$ เป็นศูนย์กลางการท่องเที่ยวแห่งที่สองของ $c_1$ และ $c_4$ และฉันอยากจะพิสูจน์ว่ามันอยู่ในเส้นที่ตั้งฉากกับ $AB$ ผ่าน $T$.
ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องที่สำคัญที่คุณควรทราบ: แสดงวงกลมทั้งสามนี้แบ่งปันเส้นสัมผัสทั่วไปภายนอกของพวกเขา
สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นผลลัพธ์ทั่วไปเกี่ยวกับวงการที่ไม่ดี
คำตอบ
ให้สัมผัสทั่วไปที่ $T$ พบกัน $AF$ ที่ $Y$ และให้ตั้งฉากกับ $AB$ ผ่าน $F$ พบกัน $AB$ ที่ $L$.
จากนั้นเราคำนวณ$y=LT$ โดย Pythagoras theorem: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ ดังนั้น $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ และเราได้รับ $$y= {ac\over a+b}$$ ดังนั้น $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$
ในทางกลับกันให้ $X$ อยู่ใน $HI\cap AF$.
โฮโมเทตตี้$H_1$ ที่ $H$ และสัมประสิทธิ์ ${b\over c}$ ใช้เวลา $F$ ถึง $B'$ และ homothety $H_2$ ที่ $G$ และสัมประสิทธิ์ ${a+b\over b}$ ใช้เวลา $B'$ ถึง $A$ดังนั้นองค์ประกอบ $H_2\circ H_1$ ใช้เวลา $F$ ถึง $A$ และมีศูนย์กลางอยู่ที่ $FA\cap GH =X$. องค์ประกอบนี้มีค่าสัมประสิทธิ์$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ ดังนั้น $X$ หาร $AF$ ในอัตราส่วนเดียวกับ $Y$ และด้วยเหตุนี้ $X=Y$ และเราทำเสร็จแล้ว
อาร์กิวเมนต์ในคำตอบของ Aquaสามารถย่อได้ดังนี้ เราใช้ชื่อจุดเดียวกัน แต่ที่นี่$a,b,c$ คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ตรงกลาง $A,B',F$ ตามลำดับ (สิ่งนี้เปลี่ยนความหมายของ $a$). ปล่อย$LT:TA$ เป็น $x$.
ตามที่อธิบายไว้ในรูปทรงสามเหลี่ยมของอี้อูหน้า 2ศูนย์โฮโมเทติกภายใน$X$ (aka internal center of similitude) ของวงกลมสองวง $O(R),I(r)$ แบ่งส่วน $OI$ ในอัตราส่วน $R:r$. ดังนั้นจุด homothetic ภายในของ$F(c),A(a)$ หาร $FA$ ในอัตราส่วน $c:a$.
ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสตามคำตอบของ Aqua ที่เราได้รับ
$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$
การแก้ปัญหาสำหรับ $x$(ใช้ตัวแก้ออนไลน์ถ้าเราขี้เกียจ) เราได้รับ$x=\dfrac{c}{a}$. ด้วยประการฉะนี้
$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$
ดังนั้น $Y$ เป็นศูนย์กลางการเคลื่อนไหวภายในของ $c_1,c_4$.