พิสูจน์ได้ว่าลำดับเมตริก -Cauchy = ลำดับ seminorm-Cauchy บนช่องว่างFréchet?

Aug 19 2020

ฉันกำลังพยายามพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้จากหนังสือทฤษฎีสเปกตรัมและกลศาสตร์ควอนตัมโดย V.Moretti:

ลำดับ $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ Cauchy เป็นระยะทาง $d$ ในพื้นที่ที่สามารถวัดได้นูนในพื้นที่ $X$ ถ้าเป็น Cauchy สำหรับทุกเซมินอร์ม $p$ การสร้างโทโพโลยี: สำหรับทุกๆ $\epsilon > 0$ มี $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ ดังนั้น $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ เมื่อใดก็ตาม $n,m > N_\epsilon^{(p)} $. ดังนั้นความสมบูรณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระยะทางที่ใช้ในการสร้างโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่

เราจะพิสูจน์เรื่องนี้ได้อย่างไร?


ถ้าลำดับคือ Cauchy สำหรับ $d$จากนั้นมันก็จะนอนอยู่ในลูกบอล $B_{d,\delta}(x)$ สำหรับใด ๆ $\delta>0.$ เราจำเป็นต้องใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าในที่สุดมันก็จะอยู่ในลูกบอล $B_{p,\epsilon}(y)$ สำหรับการแก้ไขใด ๆ $p\in P,\epsilon>0.$ ฉันมั่นใจว่าผลลัพธ์จะต้องพึ่งพา $d$ และ $P$สร้างโทโพโลยีเดียวกัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีเชื่อมโยงทั้งสอง เราสามารถซ้อนชุดเมตริกในชุดเซมิโคลอนเปิดได้เสมอและในทางกลับกัน แต่ก็ยังไม่ได้นำฉันไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน

นี้โพสต์มีหลักฐานที่ครบถ้วนของการสร้างตัวชี้วัดใดโครงสร้างเช่นเดียวกับ$P$รับประกันความสมบูรณ์ของเมตริกดังกล่าวทั้งหมด แต่คำแถลงนี้เกี่ยวข้องกับเซมินอร์มดังนั้นจึงไม่ใช่การอ้างสิทธิ์ที่เท่าเทียมกันจากสิ่งที่ฉันบอกได้

คำตอบ

2 KaviRamaMurthy Aug 19 2020 at 12:57

ฉันสมมติว่าเมตริกมีการแปลไม่แปรผัน ปล่อย$(x_n)$ เป็น Cauchy ในเมตริกและ $\epsilon >0$. ถ้า$p$ เป็นบรรทัดฐานกึ่งสร้างโทโพโลยี $\{x: p(x) <\epsilon\}$ มีการเปิดทั้งหมด $B_d(0,\delta)$. สำหรับ$n,m$ ใหญ่พอสมควร $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ และด้วยเหตุนี้ $p(x_n-x_m) <\epsilon$.

Converse ตามมาจากความจริงที่ว่า $B_d(0,\epsilon)$ ประกอบด้วยชุดประเภท $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $N$ตัวเลขเชิงบวกบางตัว $\epsilon_i$ และบางส่วน $p_i$ของ