พิสูจน์การมีอยู่และเอกลักษณ์ของปัญหา Cauchy

Question

ฉันต้องการความช่วยเหลือในการพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของปัญหา Cauchy ต่อไปนี้:

\ start {cases} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {cases}

ซึ่งสามารถสร้างใหม่เป็นระบบการสั่งซื้อครั้งแรกได้โดยที่ $f$ ถูกกำหนดให้เป็น $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

เพื่อพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ (ในท้องถิ่น) ฉันต้องแสดงให้เห็น $f$ คือ Lipschitz wrt $y$, (เป็น RHS ของ ODE)

ฉันคำนวณ:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

ดังนั้นสำหรับ $|x| < a$ (กล่าวคือใน neigbourhood ของ $x_0=0$ ฉันมี $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$ดังนั้นจึงเป็น Lipschitz ในท้องถิ่น ( แต่ไม่มีทั่วโลก )

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่?

Answer 1

คุณมีฟังก์ชั่น $f(x,y)$ไม่ถูกต้อง. สิ่งที่คุณต้องทำคือกำหนดตัวแปรที่สามเพื่อใช้เป็นอนุพันธ์แรกของ$y$. ฟังก์ชันที่คุณต้องการคือ$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. นี่คือฟังก์ชั่นที่คุณต้องการแสดงคือ Lipschitz

Answer 2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ การเปลี่ยนแปลงตัวแปร:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$นี่คือสมการเบสเซลซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี ดู Eq. (6) และ (7) ใน:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ และ $Y_0$เป็นฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรกและชนิดที่สองตามลำดับ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ ODE คือ:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ ค่าสัมประสิทธิ์ $c_1$ และ $c_2$ ถูกกำหนดตามเงื่อนไข $y(0)=1$ และ $y'(0)=0$ ซึ่งนำไปสู่โซลูชันที่ไม่เหมือนใคร: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$