พิสูจน์กฎหมายไตรโคโตมี $\mathbb{N}$ (สัจพจน์ Peano).

Question

ฉันต้องการความช่วยเหลือในการพิสูจน์กฎหมายไตรโคโตมี $\mathbb{N}$(สัจพจน์ Peano). ฉันได้พิสูจน์แล้วว่าการเพิ่มนั้นเชื่อมโยงและสับเปลี่ยน นอกจากนี้ฉันได้พิสูจน์กฎหมายการยกเลิกและคำศัพท์ที่เป็นประโยชน์บางประการ ตอนนี้ฉันมีปัญหาในการพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้:

ปล่อย $m,n \in \mathbb{N}$. จากนั้นหนึ่งในข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

1. $m=n$
2. มีจำนวนตามธรรมชาติ $p \neq 0$ ดังนั้น $ m = n + p$.
3. มีจำนวนตามธรรมชาติ $q \neq 0 $ ดังนั้น $n = m + q$.

ลองของฉัน

อันดับแรกฉันพิสูจน์แล้วว่าสองข้อความนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้

ถ้า $1), 2)$ เป็นความจริงแล้ว $m=m+p$ และตามกฎหมายการยกเลิก $p=0$, ความขัดแย้ง. สิ่งนี้คล้ายคลึงกับ$1),3)$. จากนั้นสมมติ$2),3)$. จากนั้น$m = m + q + p$และตามกฎหมายการยกเลิก $ 0 = q + p \implies q=p=0$ความขัดแย้ง (ฉันได้พิสูจน์คำพูดสุดท้ายนี้ก่อนหน้านี้) จากนั้นไม่เกิน 1 คำสั่งที่เป็นจริงได้

ตอนนี้ฉันต้องพิสูจน์ว่าอย่างน้อย $1$ของข้อความนี้เป็นความจริงในการพิสูจน์ให้เสร็จ แต่ฉันไม่รู้ว่าจะดำเนินการอย่างไร ฉันรู้ว่านี่เป็นคำถามพื้นฐาน / คลาสสิก แต่ฉันไม่พบโพสต์ใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ใน MSE หากมีโพสต์ดังกล่าวโปรดแจ้งให้เราทราบและขออภัยในการโพสต์ใหม่

คำแนะนำใด ๆ ที่ชื่นชม

Answer 1

ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่าสำหรับทุกคน $n, m$, ทั้ง $\exists p (n + p = m)$ หรือ $\exists p (m + p = m)$. ดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำ$m$.

กรณีฐาน $m = 0$: แล้วเราก็มี $m + n = 0 + n = n + 0 = n$.

กรณีอุปนัย $m = S(k)$: เราแบ่งออกเป็นสามกรณีย่อยตามสมมติฐานอุปนัยและข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขทุกตัวเป็นตัวตายตัวแทนหรือศูนย์

Subcase $k + p = n$ ที่ไหน $p = S(p')$: แล้วเราก็มี $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$.

Subcase $k + p = n$ ที่ไหน $p = 0$: แล้ว $k + 0 = k = n$. แล้ว$m = S(k) = S(n)$. แล้ว$m = S(n + 0) = n + S(0)$.

Subcase $n + p = k$: แล้ว $n + S(p) = S(n + p) = m$.

ดังนั้นเราได้พิสูจน์แล้วว่าสำหรับทุกๆ $n$, $m$, ทั้ง $\exists p (n + p = m)$ หรือ $\exists p (m + p = n)$.

ตอนนี้เราต้องการพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆ $n, m$เรามีอย่างน้อยหนึ่งใน $n = m$, $\exists p (n + S(p) = m)$และ $\exists p (m + S(p) = n)$.

ตอนนี้สมมติว่า WLOG นั้น $\exists p (n + p = m)$. เราแยกเป็นสองกรณี ประการแรกสมมติว่า$p = 0$. แล้วเรามี$n = m$. ประการที่สองสมมติว่าเราเขียนได้$p = S(p')$. แล้วเรามี$n + S(p') = m$. กรณี$\exists p (m + p = n)$ คล้ายกัน.

เห็นได้ชัดว่านี่เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่าอย่างน้อยหนึ่งตัวเลือกใน Trichotomy ของคุณมีอยู่