พิสูจน์ว่า $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
ฉันพบปัญหาที่น่าสนใจเกี่ยวกับอนุกรมไฮเพอร์จีโอเมตริกทั่วไปใน MO โดยระบุว่า:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
ตัวเลขนี้เห็นด้วย แต่ฉันไม่พบข้อพิสูจน์ใด ๆ โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก (เช่นผลรวมของวัฏจักร) หรือสูตรแกมมาคลาสสิก (เช่นสูตร Dougall) ฉันพนันได้เลยว่ามันเกี่ยวข้องกับรูปแบบโมดูลาร์และรูปไข่$K$ อินทิกรัล แต่ความสัมพันธ์ที่แน่นอนยังคงเข้าใจยาก
จะพิสูจน์ตัวตนนี้ได้อย่างไร? แรงจูงใจของมันคืออะไร? เราสามารถสร้างการประเมินแกมมาอื่น ๆ ของอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกลำดับสูงโดยใช้วิธีการพิสูจน์ได้หรือไม่ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม.
คำตอบ
ปล่อย $S$ เป็นผู้กำหนด $_4F_3$จากนั้น (ความเท่าเทียมกันครั้งแรกมาจากการรวมคำศัพท์) $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
เป็นที่เห็นได้ง่าย $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ คือค่าของไฟล์ $_3F_2$ ที่ $a=0$( ดิกสัน ). ชุด$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
โดยกฎลูกโซ่หลายตัวแปร $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
โดยทั่วไปอนุพันธ์ของ $_pF_q$เกี่ยวกับพารามิเตอร์นั้นว่ายาก เราสามารถจัดการได้เฉพาะในลักษณะเฉพาะกิจเท่านั้น ในสถานการณ์ของเราเป็นที่ทราบกันดีว่า$_3F_2$ ที่ $1$ตอบสนองการเปลี่ยนแปลงบาง: สองเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นที่ 1 และรายการที่ 3 ที่นี่ ใช้สองรายการนี้เราได้รับ$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
สังเกตว่าสำหรับทั้งสี่ $_3F_2$ ข้างต้นข้อโต้แย้งของพวกเขาทั้งหมดเป็นเหมือน $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ $a$ปรากฏในสถานที่ต่างๆ สิ่งนี้เผยให้เห็นว่าทำไม$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ เป็นพิเศษ
แนะนำนิยามเชิงปฏิบัติการ: เขียน $x\equiv y$ ถ้า $x-y$คือ "การรวมกันของปัจจัยแกมมาเชิงเส้น" ตัวอย่างเช่น,$x\equiv y$ ถ้า $x-y = A$. ตอนนี้หาอนุพันธ์ที่$a=0$เราได้รับ $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ การแก้ระบบนี้ให้ $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
ด้วยประการฉะนี้ $d_{1/3}+d_{4/3}$ สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันแกมมาได้เช่นกัน $S$ ตาม $(*)$.
ไม่มีความยุ่งยากในการทำ $(**)$ ชัดเจน: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
การแก้ปัญหาให้ $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$. เรายังได้รับค่าของ$d_1, d_{2/3}$ เป็นผลพลอยได้
ว้าวน่าทึ่ง! แก้ไขใน 9 ปีต่อมา! ขอบคุณทุกคนที่ขุดสิ่งนี้ขึ้นมาและจากนั้นก็แก้ปัญหาได้ สิ่งนี้สามารถให้แบบฟอร์มทั่วไปสำหรับ
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
ฉันควรจะให้แรงจูงใจบางอย่างสำหรับสิ่งนี้ ในบทความต่อไปนี้ฉันดูเวลาออกที่คาดไว้ของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนแบบระนาบที่เริ่มต้นที่ 0 จากปกติ$m$-gon อยู่ตรงกลางที่ 0:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
มันคือ (ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับขนาดของรูปหลายเหลี่ยม)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
ซึ่งไม่ได้ม้วนออกจากลิ้นอย่างแน่นอน อย่างไรก็ตามสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่ามีวิธีการคำนวณที่แตกต่างออกไปและให้$1/6$. ดังนั้นเราจึงได้ตัวตนโดยการเอาสองตัวมาเทียบกันและนั่นคือตัวตน ตอนนี้คำถามคือเราสามารถใช้วิธีนี้เพื่อให้ได้นิพจน์ที่ดีกว่าสำหรับไฟล์$_4F_3$ สำหรับขนาดใหญ่ขึ้น $m$เหรอ? จากนั้นจะเป็นการแสดงออกที่ดีกว่าสำหรับเวลาที่คาดว่าจะออกจากการเคลื่อนที่ของ Brownian จากปกติ$m$-gon.
เวอร์ชันการวิเคราะห์อย่างหมดจด (เช่นไม่ใช่ความน่าจะเป็น) ของทั้งหมดนี้สามารถพบได้ที่นี่เนื่องจากเวลาออกที่คาดไว้นั้นเป็นบรรทัดฐาน Hardy H ^ 2 ของโดเมนถึงค่าคงที่
https://arxiv.org/abs/1205.2458