พิสูจน์ว่าถ้าความแตกต่างของเงื่อนไขของลำดับคอนเวอร์เจนต์สองลำดับเป็นโมฆะขีด จำกัด ของลำดับจะเท่ากัน

Aug 16 2020

ข้อเสนอ: ระบุว่าลำดับที่แท้จริง $\{a_n\}$ และ $\{b_n\}$ มาบรรจบกันและนั่น $\{a_n - b_n \}$ เป็นลำดับโมฆะแล้ว $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$

นี่เป็นความพยายามของฉัน:

แสดงว่า $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ และ $\lim_{n \to\infty} b_n = m$. สมมติ$m \neq n$. สมมติ$\epsilon = \frac{l-m}{2}$. โดยการบรรจบกันของ$\{a_n\}$ และ $\{b_n\}$และใช้ค่าที่ระบุของ epsilon เพื่อให้มีขนาดใหญ่เพียงพอ $n$ เรามีสิ่งนั้น $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$และ $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$. จากนี้เรามี

$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$

แต่โดยความหนาแน่นของ $\mathbb{R}$มีอยู่บ้าง $r \in \mathbb{R}$ ดังนั้น $a_n - b_n > r$ สำหรับขนาดใหญ่เพียงพอ $n$. แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า$\{a_n - b_n\}$ เป็นลำดับโมฆะดังนั้น $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

ฉันสนใจที่จะดูว่ามีการพิสูจน์หรือไม่ (และหวังว่าจะยืนยันด้วยว่าของฉันถูกต้อง!) ซึ่งไม่ได้อาศัยการอนุมานความขัดแย้งจากการสันนิษฐาน $l \neq m$. สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นหนึ่งในข้อความที่ 'ชัดเจน' ที่เมื่อฉันเขียนตามตรรกะลำดับแรกฉันพยายามที่จะพิสูจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่สามารถหาวิธีทำโดยตรงได้

คำตอบ

2 BrianM.Scott Aug 16 2020 at 02:41

การพิสูจน์โดยความขัดแย้งเป็นแนวทางที่เป็นธรรมชาติที่สุดที่นี่ สัญชาตญาณนั้นง่ายมาก: หากลำดับมีขีด จำกัด ที่แตกต่างกันในที่สุดพวกเขาก็ต้องอยู่ใกล้กับขีด จำกัด เหล่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ใกล้กันได้

สามารถทำได้ง่ายขึ้นเล็กน้อย ปล่อย$\epsilon=\frac13|\ell-m|$. มีไฟล์$n_0\in\Bbb N$ ดังนั้น $|a_n-\ell|<\epsilon$ และ $|b_n-m|<\epsilon$ เมื่อใดก็ตาม $n\ge n_0$. แต่แล้ว

$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$

เพื่อทุกสิ่ง $n\ge n_0$ดังนั้น

$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$

เพื่อทุกสิ่ง $n\ge n_0$ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ เป็นลำดับว่าง

การโต้แย้งของคุณมีปัญหาบางอย่าง อย่างแรกดูเหมือนคุณจะสมมติว่า$\ell>m$; ไม่มีการสูญเสียทั่วไปอย่างแท้จริงหากคุณตั้งสมมติฐานนี้ แต่อย่างน้อยคุณก็ต้องบอกว่าคุณกำลังทำมัน ดูเหมือนว่าคุณจะตั้งสมมติฐานในตอนท้ายว่า$a_n-b_n$เป็นบวกซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น ประการสุดท้ายและที่สำคัญที่สุดคุณยังไม่ได้ให้เหตุผลใด ๆ สำหรับการยืนยันว่ามีจริง$r$ ดังนั้น $a_n-b_n>r$ สำหรับขนาดใหญ่เพียงพอ $n$: นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับ $|a_n-b_n|$ และบางส่วนในเชิงบวก $r$แต่สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของ $\Bbb R$.