ผลรวมของภาพที่มีขอบเขตตามปกติหมายถึงขอบเขต

Question

นี่เป็นปัญหาจาก "A Course in Functional Analysis" ของ Conway ปัญหา II.1.3 สมมติ$E = \{e_n\}$ เป็นพื้นฐานปกติสำหรับพื้นที่ฮิลเบิร์ต $H$ และ $A$ คือแผนที่เชิงเส้น $H \to K$ (ที่ไหน $K$ ยังเป็นพื้นที่ของฮิลเบิร์ต) ที่น่าพอใจ $\sum_n \| Ae_n\| < \infty $. แสดงว่า$A$ มีขอบเขต

ฉันเชื่อว่าข้อความดังกล่าวเป็นเท็จโดยทั่วไป ปล่อย$H=l^2(\mathbb{N})$ และ $K = \mathbb{R}$. เราสามารถขยาย$E$ เป็นพื้นฐานของ Hamel $E'$ ดังนั้น $\|e\| = 1$ เพื่อทุกสิ่ง $e \in E'$. ปล่อย$(f_n)$ เป็นชุดย่อยที่แจกแจงได้ของ $E' \setminus E$. แล้วการตั้งค่า$Ae_n = 2^{-n}$, $Af_n = n$ และ $Ae = 0$ สำหรับ $e \in E' \setminus (E \cup (f_n))$ ให้ตัวดำเนินการที่ไม่ถูกผูกไว้ใน $H$. เหตุผลของฉันถูกต้องหรือไม่?

Answer 1

ตัวอย่างของคุณก็ดี แต่การออกกำลังกายไม่ได้ถามว่าคุณพูดอะไร มันบอกว่าจะแสดงให้เห็น$A$มีส่วนขยายขอบเขตที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างของคุณสร้างส่วนขยายที่ไม่มีขอบเขต ที่ไม่ได้กีดกันการมีอยู่ของขอบเขต

.

Answer 2

หลักฐานของคุณถูกต้อง แต่คุณควรพูดอย่างชัดเจนว่าพื้นที่ของฮิลเบิร์ตไม่สามารถมีพื้นฐานของฮาเมลที่นับได้ (ซึ่งไม่ใช่ผลลัพธ์เล็กน้อย) นั่นคือเหตุผลว่าทำไมลำดับของคุณ$(f_n)$ มีอยู่