พื้นที่ทั้งหมดของวงกลมที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งซ้อนอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ระบุว่ารัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่าคือ 1 พื้นที่ทั้งหมดของวงกลมที่ไม่มีที่สิ้นสุดในภาพด้านบนเป็นเท่าใด?
ฉันรู้วิธีแก้ปัญหาส่วนหนึ่งโดยทำตามขั้นตอนของไซต์นี้
แต่ปัญหาคือวงกลมที่เหลือ ฉันพยายามสร้างพีชคณิตโดยใช้กรณีพิเศษ (โดยที่วงกลมวงหนึ่งเป็นเส้น) ของทฤษฎีบทของเดส์การ์ตแต่ฉันไม่พบรูปแบบในการเขียนอนุกรมแล้วหาผลรวม
ฉันจะหาพื้นที่ของวงกลมที่เหลือซึ่งระบุเป็นสีแดงในภาพด้านล่างได้อย่างไร
คำตอบ
ตามทฤษฎีของวงการฟอร์ดแวดวงการสัมผัสทำให้พอใจ$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
ในกรณีของปัญหาที่กำหนดวงกลมแต่ละวงจะสัมผัสกับวงกลมขนาดใหญ่ที่ไม่ซ้ำกันสองวง ถ้าเราจดจ่อกับกิ่งก้านเดียวของเซต (หนึ่งในสามของวงกลม) วงกลมกลางจะมีรัศมี$1$ และวงกลมที่ใหญ่ที่สุดถัดไปมีรัศมี $1/3$โดยความคล้ายคลึงกัน วงกลมสัมผัสของพวกเขามีรัศมี$1/(1+\sqrt3)^2$ ตามสูตรข้างต้น
วงกลมแต่ละวงสามารถแสดงด้วยจำนวนเต็มคู่ $(m,n)$ ซึ่งเป็นผลรวมของดัชนีพ่อแม่และมีรัศมี $r_{n,m}$ ให้โดย $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$โดยใช้สูตรข้างต้น แผนภาพต่อไปนี้แสดงถึงกลุ่มของวงกลมเพียงกลุ่มเดียวที่สร้างโดยวงที่ใหญ่ที่สุด$(1,0)$ และใหญ่ที่สุดถัดไป $(0,1)$. จุดยอดแต่ละจุดในต้นไม้แสดงถึงช่องว่างระหว่างวงกลมและขอบแต่ละด้านแทนการสัมผัสกับวงกลมสองวง
$\hspace{2cm}$
ตระกูลถัดไปทางซ้ายสร้างโดย $(0,1)$ และ $(3,0)$ เนื่องจากวงกลมแต่ละวงโดยมีจุดศูนย์กลางของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดด้านซ้ายมีรัศมี $1/3^n$ (แสดงโดย $(3^{n/2},0)$ หรือ $(0,3^{(n-1)/2})$).
ตาราง $1/\sqrt{r_{n,m}}$ สำหรับกลุ่มแรกของแวดวงให้:
ครอบครัว 1: $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
ต่อไปนี้เป็นสคริปต์ Mathematica สำหรับสร้างคู่เหล่านี้:
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(วงกลมกลางถูกลบออก)
ค่าตัวเลขสำหรับพื้นที่ของตระกูลแรกคือ $A_1\approx0.4550$.
ครอบครัวที่เหลือจะคล้ายกับตระกูลแรกเนื่องจากเป็นรุ่นที่มีการปรับขนาด ตัวอย่างเช่นตระกูลที่สองถูกสร้างขึ้นโดย$(3,0)$ และ $(0,1)$ด้วยเหตุนี้จึงเป็นหนึ่งในสามของขนาดครอบครัว (และอันดับที่เก้าในพื้นที่)
ดังนั้นพื้นที่ทั้งหมดของสาขาเดียวคือ $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
คำตอบที่ต้องการสำหรับพื้นที่ทั้งหมดคือ $3B+\pi$เพิ่มวงกลมกลาง การประมาณเชิงตัวเลขของพื้นที่นี้คือ$4.68$ซึ่งเพิ่งจบไป $90\%$ ของสามเหลี่ยมทั้งหมด