พื้นที่ย่อยของมิติ จำกัด ถ้าพื้นที่เวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐานถูกปิดโดยใช้ความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐาน

Question

ฉันได้แสดงบรรทัดฐานใด ๆ บนปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติ จำกัด แล้วคำถามก็ถามว่าทำไมสิ่งนี้จึงบ่งบอกถึงสเปซย่อยมิติ จำกัด ของพื้นที่เวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐานถูกปิด (ปิดในแง่ที่ว่าปิดด้วย toplogically ส่วนเติมเต็มคือส่วนย่อยแบบเปิด)

ฉันเข้าใจว่าบรรทัดฐานที่เท่ากันทำให้เกิดแนวคิดการบรรจบกัน แต่ฉันมีความคิดน้อยมากว่าจะเริ่มต้นที่ไหน ฉันเคยเห็นโพสต์สองสามรายการที่แสดงว่า subspace เสร็จสมบูรณ์แทน แต่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นปัญหานี้

ฉันควรดำเนินการอย่างไร? ขอบคุณมากล่วงหน้า!

Answer 1

ฉันรู้ว่าถ้า $X$ เป็นพื้นที่ที่กำหนดไว้เหนือฟิลด์บางฟิลด์ $\mathbb{F}$ และมิติที่ จำกัด ด้วยมิติ $n$เพื่อให้คุณสามารถพิสูจน์ได้ $X$ isomorphic ถึง $\mathbb{F}^{n}$ ด้วยบรรทัดฐานแบบยูคลิด $[1]$

Collorary ของผลลัพธ์ข้างต้นคือถ้า $X$ เป็นพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัด ที่มีบรรทัดฐาน $||\cdot||_{1}$ และ $||\cdot||_{2}$. แล้ว$||\cdot||_{1}$ และ $||\cdot||_{2}$ เทียบเท่า

ทีนี้ถ้าคุณสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์นั้นได้ $[1]$ จากนั้นคุณมีว่าสเปซย่อยมิติ จำกัด ใด ๆ ของสเปซเชิงเส้นบรรทัดฐานถูกปิด