ปล่อย $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. กำหนดชุดของการตกแต่งภายในการสะสมจุดแยกและขอบเขต

Question

หวังว่าคำถามนี้จะเหมาะสมสำหรับฟอรัมนี้ ถ้าไม่โปรดแจ้งให้เราทราบ ฉันต้องการทราบว่าเหตุผล (การพิสูจน์) ของการแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่

ปล่อย $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. นอกจากนี้$\sup E = 1$ ด้วย $1 \in E$ และ $\inf E = 0$ ดังนั้น $E \subset (0,1]$.

1. ชุดจุดภายในของ E: let $c > 0, c \in \mathbb{R}$. ใช้อะไรก็ได้$x \in E$. พิจารณาช่วงเวลา$(x-c,x+c)$ เนื่องจากช่วงเวลาดังกล่าวมีจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่มีเหตุผล $(x-c,x+c) \not\subset E$ ดังนั้น x ไม่ใช่จุดภายในของ E ดังนั้นจึงไม่มีจุดภายในใน E และเซตของจุดภายในของ E คือเซตว่าง $\phi$.

2. ชุดคะแนนสะสม E: สำหรับทุกๆ $c > 0, c \in \mathbb{R}$ใช้เวลาใด ๆ $x \in (0,1]$. พิจารณาช่วงเวลา$(x-c,x+c)$ เนื่องจากช่วงเวลาดังกล่าวมีจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่มีเหตุผลและ $E \subset \mathbb{Q}$ แล้ว $(x-c,x+c)\cap E$ มีจุด E มากมายไม่สิ้นสุดดังนั้นชุดคะแนนสะสมของ E คือ (0,1]

3. ชุดจุดแยกของ E: let $c > 0, c \in \mathbb{R}$. ใช้อะไรก็ได้$x \in E$. พิจารณาช่วงเวลา$(x-c,x+c)$ เนื่องจากช่วงเวลาดังกล่าวมีจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่มีเหตุผล $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ ดังนั้น x จึงไม่ใช่จุดแยกของ E ดังนั้นจึงไม่มีจุดแยกใน E และเซตของจุดแยกของ E คือเซตว่าง $\phi$.

4. ชุดของจุดขอบเขตของ E: สำหรับทุกๆ $c > 0, c \in \mathbb{R}$ จากนั้นทุกช่วงเวลา $(0-c,0+c)$ มีอย่างน้อยหนึ่งจุดนอก E และอย่างน้อยหนึ่งจุดภายใน E และทุกช่วงเวลา $(1-c,1+c)$ มีอย่างน้อยหนึ่งจุดนอก E และอย่างน้อยหนึ่งจุดใน E มิฉะนั้นสำหรับจุดใด ๆ $x \in E$ ไม่ใช่ทุกช่วงเวลา $(x-c,x+c)$ มีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดนอก E และอย่างน้อยหนึ่งจุดภายใน E ดังนั้นชุดของจุดขอบเขตของ E คือ {0,1}

หมายเหตุ: การอ้างอิงสำหรับคำจำกัดความของการตกแต่งภายในการสะสมจุดแยกและขอบเขตคือ "การวิเคราะห์จริงเบื้องต้น" โดย B. Thomson, JB Brucker และ AM Bruckner, Sec. 4.2 หน้า 165.

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความคิดเห็น

Answer 1

ถูกต้องที่จะพูดอย่างนั้น $(x - c, x + c)$ มีทั้งจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและจำนวนอตรรกยะและการพูดนั้นถูกต้อง $E \subseteq \mathbb{Q}$; แต่มันไม่ถูกต้องที่จะพูดแบบนั้น$(x - c, x + c)$ มีสมาชิกบางส่วนของ $E$เป็นผลให้. เป็นตัวอย่างง่ายๆให้$x = 3/4$ และ $c = 1/8$; ช่วงเวลา$(5/8,7/8)$ ไม่มีสมาชิกของ $E$. ที่สำคัญเพียงเพราะสมาชิกทุกคนของ$E$ อยู่ใน $\mathbb{Q}$ ไม่ได้หมายความว่าสมาชิกของ $\mathbb{Q}$ ใน $(x - c, x + c)$ บังเอิญเป็นคนเดียวกับที่อยู่ใน $E$!

ข้อผิดพลาดนี้ส่งผลต่อคำตอบของคุณใน 2, 3 และ 4 เพื่อให้คุณเริ่มต้นแก้ไขได้ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับ # 2

ปล่อย $1/2 < x < 1$. ช่วงเวลา$(1/2, 1)$ เป็นช่วงเปิดที่มี $x$ ซึ่งไม่รวมถึงสมาชิกของ $E$ (เนื่องจากสมาชิกทั้งหมดของ $E$ นอกเหนือจากนี้ $1$ และ $1/2$ น้อยกว่า $1/2$) ดังนั้น $x$ ไม่ใช่จุดสะสมของ $E$.

ตอนนี้ฉันจะปล่อยให้คุณใช้แนวความคิดนี้โดยทั่วไป