ปล่อย $\{x_n\}$ เป็นลำดับใน $(0, 1)$ ดังนั้น $x_n \to 0$. แสดงว่าลำดับ $\{f(x_n)\}$ มาบรรจบกัน

Aug 16 2020

ฉันกำลังพยายามแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

สมมติว่า $f: (0, 1) \to \mathbb R$ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ปล่อย$\{x_n\}$ เป็นลำดับใน $(0, 1)$ ดังนั้น $x_n \to 0$. แสดงว่าลำดับ$\{f(x_n)\}$ มาบรรจบกัน

ฉันคิดว่าถ้าเป็นอย่างนั้น $f(x_n)$ มาบรรจบกันก็ควรมาบรรจบกัน $f(0)$ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎีบทใด (?)

ประการที่สองถ้าเราพูดว่าเกี่ยวข้องกับช่วงเวลา $[0, 1]$ ค่อนข้างมากกว่า $(0, 1)$ฉันคิดว่าฉันมีความคิดเกี่ยวกับวิธีการเข้าหา ตั้งแต่$f(x)$ จะต่อเนื่องสม่ำเสมอบน $[0, 1]$ สำหรับทุกๆ $\epsilon > 0$ เราจะมี $\delta_\epsilon$ เช่นนั้นถ้า $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ แล้ว $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. ตั้งแต่,$x_n \to 0$ ฉันคิดว่าเราสามารถเลือกบางอย่างได้เสมอ $N \in \mathbb N$ เช่นนั้นสำหรับ $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้นสำหรับทุกคน$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ สำหรับทางเลือกบางอย่าง $\epsilon > 0$.

แต่ที่นี่เรากำลังจัดการกับช่วงเวลาที่เปิดอยู่ $(0, 1)$ ค่อนข้างมากกว่า $[0, 1]$ และด้วยเหตุนี้เราจึงไม่รับประกันว่าสำหรับทุกๆ $\epsilon > 0$ เราจะมี $\delta_\epsilon$ เช่นนั้นถ้า $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ แล้ว $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. นี่เป็นเพราะคำจำกัดความของความต่อเนื่องสม่ำเสมอบอกว่า:

ปล่อย $(X, d_X)$ และ $(Y, d_Y)$ เป็นช่องว่างสองเมตริกแล้วปล่อยให้ $f: X \to Y$. เราว่าอย่างนั้น$f$ iff ต่อเนื่องสม่ำเสมอสำหรับทุกคน $\epsilon > 0$ มี $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

แต่โปรดทราบว่าในกรณีของ $f: (0, 1) \to \mathbb R$ ประเด็น $0$ ไม่โกหก $(0, 1)$! ดังนั้นเราจึงไม่รับประกันว่าทั้งหมด$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, ที่ไหน $X = (0, 1)$ และ $Y = \mathbb R$ ในบริบทนี้.

มีความคิดอย่างไรที่จะแก้ไขข้อพิสูจน์นี้ นอกจากนี้ทำไมต้อง$f(x_n)$ จำเป็นต้องมาบรรจบกัน $f(0)$ ถ้า $x_n \to 0$เหรอ? นี่เป็นคุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอหรือไม่?

คำตอบ

1 FormulaWriter Aug 16 2020 at 20:09

แสดงโดยใช้ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของ $f$, นั่น $(f(x_n))_n$ เป็นลำดับ Cauchy $f(0)$ ไม่ได้กำหนดไว้ในการตั้งค่าของคุณ (โดเมนของ $f$ คือ $(0,1)$) ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถสรุปได้ $f(x_n) \to f(0)$. อย่างไรก็ตามเนื่องจาก$\Bbb R$เสร็จสมบูรณ์ลำดับยอมรับขีด จำกัด สังเกตว่าฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นแบบต่อเนื่องดังนั้นหากเป็นฟังก์ชัน$g$ กำหนดไว้เมื่อ $[0,1]$ มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อเนื่องเป็นจริงอย่างนั้น $g(x_n)\to g(0)$.

csch2 Aug 16 2020 at 20:17

แนวทางหนึ่งคือการใช้ความจริงที่ว่าถ้า $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอ $(a,b)$แล้ว $f$ ยอมรับส่วนขยายที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นเอกลักษณ์ $[a,b]$. สำหรับกรณีนี้คุณสามารถกำหนดค่าของ$f(0)$ ดังนั้น $f:[0,1)\to\mathbb{R}$ต่อเนื่องสม่ำเสมอ จากนั้นคุณสามารถสรุปได้ว่า$f(x_n)\to f(0)$ โดยความต่อเนื่อง

CharlieChang Aug 17 2020 at 11:45

สำหรับ f (x) นั้นต่อเนื่อง $\forall \epsilon, \exists \delta$ เช่นนั้นเมื่อ $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.

สำหรับ $x_n\to 0$, $\exists N,$ เช่นนั้นเมื่อ $n>N, |x_n-0|<\delta$.

ดังนั้น $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ มาบรรจบกัน


การแก้ไข: ตามที่ @FormulaWriter กล่าวไว้ $f(0)$ ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนดังนั้นจึงควรแทนที่ $f(0)$ ข้างต้นเป็น $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.