ประวัติของคำว่า 'โดเมนร่วม' คืออะไร?
ฉันสงสัยว่ามีใครรู้ประวัติของคำว่า 'โดเมนร่วม' อีกหรือไม่เพราะมันเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน
ฉันพบสองแหล่ง:
Russell and Whitehead, Principia Mathematica, 1915, หน้า 34:
คลาสของคำศัพท์ทั้งหมดที่บางสิ่งหรืออย่างอื่นมีความสัมพันธ์ $R$เรียกว่าโดเมนสนทนาของ$R$; มันเหมือนกับโดเมนของการสนทนาของ$R$.
Cassius Keyser, ปรัชญาคณิตศาสตร์, 2465, หน้า 168:
ความสัมพันธ์ $R$มีสิ่งที่เรียกว่าโดเมน - คลาสของคำศัพท์ทั้งหมดที่แต่ละคำมีความสัมพันธ์กับบางสิ่งหรืออื่น ๆ - และโคโดเมน - คลาสของคำศัพท์ทั้งหมดที่กำหนดให้คำใดคำหนึ่งมีบางอย่าง ความสัมพันธ์กับมัน
สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าเมื่อ Keyser พูดถึง 'codomain' เขากำลังพูดถึงสิ่งเดียวกันกับ 'โดเมนสนทนา' ของรัสเซลและไวท์เฮด ดูเหมือนว่าเราเปลี่ยนจาก 'converse domain' เป็น 'codomain' .... เป็น 'co-domain'? ดูเหมือนจะเข้าท่า
นอกจากนี้ตำราทั้งสองยังพูดถึงความสัมพันธ์ไม่ใช่หน้าที่ แต่แน่นอนว่าฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์แบบพิเศษ ดังนั้น ... มันก็ยังสมเหตุสมผล
อย่างไรก็ตาม! (และนี่คือสาเหตุที่ฉันถามคำถามนี้จริงๆ): วิธีที่ข้อความทั้งสองนี้พูดถึง 'โดเมนสนทนา' และ 'โคโดเมน' คือ (เมื่อใช้กับฟังก์ชัน) สิ่งที่เราเรียกว่า 'ช่วง' หรือ 'รูปภาพ' ของ ฟังก์ชันไม่ใช่สิ่งที่เราเรียกว่า 'โดเมนร่วม' ในปัจจุบัน
ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:
ใช้ฟังก์ชัน $f$ ซึ่งโดเมนถูกกำหนดเป็น $\mathbb{R} - \{ 0 \}$ซึ่งโดเมนร่วมถูกกำหนดให้เป็น $\mathbb{R}$และมีการกำหนดแผนที่เป็น $f(x) =1/x$.
สำหรับฟังก์ชันนี้ช่วงหรือรูปภาพคือ $\mathbb{R} - \{ 0 \}$และนั่นคือสิ่งที่ (อีกครั้งถ้าเราเห็นว่าฟังก์ชันนี้เป็นความสัมพันธ์) Russell & Whitehead จะพิจารณา 'โดเมนสนทนา' ซึ่ง Keyser จะเรียกมันว่า 'codomain'
แต่ 'โดเมนร่วม' ของฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้เป็น $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
ดังนั้นฉันคิดว่ามีการเปลี่ยนแปลงในการใช้คำนี้ ... นั่นคือดูเหมือนว่าเราได้รับ:
'โดเมนสนทนา' -> 'codomain' -> 'range'
... ในขณะที่ 'โดเมนร่วม' เป็นสิ่งที่แตกต่าง!
นี่มันแปลก! เกิดอะไรขึ้น? ใครมีข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับเรื่องนี้บ้าง?
คำตอบ
เป็นการยอมรับความเป็นคู่ในทฤษฎีเซต Domain vs Codomain แสดงความสัมพันธ์ที่ขาดหายไปจากโดเมนและช่วง
สิ่งนี้ซ่อนอยู่ในทฤษฎีเซตเนื่องจากฟังก์ชันมีความเอนเอียงซึ่งไม่ได้กำหนดไว้อย่างสมมาตร ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะกำหนดแนวความคิดของฟังก์ชันหนึ่งต่อหลายฟังก์ชันตามธรรมชาติและฟังก์ชันแบบหลายฟังก์ชันต่อหนึ่งฟังก์ชันซึ่งทำได้อย่างเป็นธรรมชาติ
สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีหมวดหมู่ที่มีการสร้างความเป็นคู่อย่างชัดเจนแทนที่จะเป็นความลับแบบลับๆที่ทำในทฤษฎีเซต ยิ่งไปกว่านั้นทฤษฎีหมวดหมู่ยังเป็นแนวคิดที่ถูกต้องของความแปรปรวนร่วมเช่นเดียวกับความคิดของความแปรปรวนร่วมทั่วไปที่ไอน์สไตน์ใช้ฮิวริสติกในการตรวจสอบลักษณะทั่วไปของกฎทางกายภาพ
สิ่งที่น่าสนใจคือหนึ่งในการค้นพบที่สำคัญของทฤษฎีสตริงคือบทบาทของความเป็นคู่ในฟิสิกส์ (ในฟิสิกส์ธรรมดาเราเห็นความเป็นคู่ปรากฏในความเป็นคู่ระหว่างสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก) มันจะไม่แปลกใจเลยถ้าด้านล่างนี้มีรากเดียวกันกับความเป็นคู่ในทฤษฎีหมวดหมู่