ปริมาตรของอนุพันธ์ของปริซึม

Question

ฉันสงสัยว่ามีวิธีใดบ้างที่จะทำให้เป็นทางการว่าฉันจะปรับสูตรสำหรับปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมที่กำหนดปริมาตรจะถูกกำหนดโดยพื้นที่หน้าตัดคูณด้วยความยาวของปริซึม

ฉันเห็นสิ่งนี้โดยสัญชาตญาณเนื่องจากปริซึมสามารถจินตนาการได้ว่าทำจากชิ้นส่วนขนาดเล็กจำนวนมากตลอดความยาว

อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่ามีวิธีกำหนดรูปแบบนี้หรือไม่?

นอกจากกระบอกบอกว่าจะไม่เป็นปริซึม อย่างไรก็ตามสูตรสำหรับปริมาตร ($\pi r^2 \times h$) คือพื้นที่เท่ากันของหน้าตัดคูณด้วยความยาว มีเหตุผลอะไรไหม?

Answer 1

1. โน้มน้าวตัวเองด้วยปริมาตรของกล่องที่มีด้านข้าง $a,b,c$ คือ $abc$.
2. จากนั้นคิดว่ามีขนาดกำลังสอง $1$ และพื้นที่ $1 \cdot 1$ เปลี่ยนเป็นกล่องโดยขยายให้สูงกว่า $h$. กล่องผลลัพธ์ควรมีปริมาตร$1\cdot 1 \cdot h$โดยใช้ (1) ด้านบน
3. ตอนนี้ให้คิดเกี่ยวกับการปรับขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมให้พอดีกับฐานของปริซึม คุณต้องปรับขนาดเพื่อให้พื้นที่ผลลัพธ์กลายเป็น$A$ซึ่งเป็นพื้นที่ของฐาน เครื่องชั่งนี้แบ่งตามตัวประกอบ$A$ดังนั้นปริมาตรที่ได้ควรปรับขนาดตามปัจจัยเดียวกันเนื่องจากความสูงจะเท่ากัน ดังนั้นปริมาตรสุดท้ายคือ$A\cdot h$.