ระบบที่ไม่สอดคล้องกันอาจเป็นสิ่งที่น่าสนใจ / มีประโยชน์ทางคณิตศาสตร์หรือไม่?
ตามคำตอบด้านบนสำหรับคำถามนี้:
ทำคณิตศาสตร์ที่เรามักจะมีความคิดของวัตถุที่เราต้องการที่จะเป็นตัวแทนอย่างเป็นทางการนี้เป็นความคิด จากนั้นเราจะเขียนสัจพจน์เพื่ออธิบายแนวคิดนี้และพยายามดูว่าสัจพจน์เหล่านี้ขัดแย้งในตัวเองหรือไม่ หากพวกเขาไม่ได้ (หรือถ้าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขาเป็น) เราจะเริ่มต้นทำงานกับพวกเขาและพวกเขากลายเป็นความหมาย นักคณิตศาสตร์ได้รับคำแนะนำจากแนวคิดนี้ แต่พวกเขาทำงานกับคำจำกัดความ ไม่ค่อยมีความคิดและคำจำกัดความตรงกันและคุณมีวัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสิ่งที่สัญชาตญาณ [นักคณิตศาสตร์] ของเราบอกเราว่ามันควรจะเป็น
การทำให้สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ของเราเป็นทางการดูเหมือนจะเป็นธุรกิจที่ยุ่งยากโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสัญชาตญาณของเรามักจะขัดแย้งในตัวเองซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้งทางคำตัดสินที่ทำให้งงงวยทุกประเภท นอกจากนี้Gödelได้แสดงให้เห็นว่ามันไม่สามารถทำได้ในทางที่เป็นทั้งที่สอดคล้องและสมบูรณ์ดังนั้นเมื่อเราทำหา formalization ไม่ใช่ขัดแย้งเราต้องเสียสละความครบถ้วนสมบูรณ์
แต่ถ้าเรายอมแพ้ความสม่ำเสมอจะเป็นอย่างไร? ระบบที่ไม่สอดคล้องกันแทนที่จะเป็นระบบที่สอดคล้องกันอาจทำให้เราสามารถทำให้สัญชาตญาณของเรา (มักไม่สอดคล้องกัน) เป็นทางการได้อย่างแนบเนียนยิ่งขึ้นหากยังมีประโยชน์น้อยกว่าด้วย
น่าเสียดายที่หลักการของการระเบิดดูเหมือนจะนำมาซึ่งระบบดังกล่าวโดยพื้นฐานแล้วไม่มีความหมายเนื่องจากทุกคำพูดจะเป็นทั้งจริงและเท็จ อย่างไรก็ตามอาจมีวิธีแก้ไขปัญหานี้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถ จำกัด กฎของการอนุมานเชิงตรรกะในลักษณะที่ป้องกันหลักการระเบิดได้ หรือเราสามารถ จำกัด การพิสูจน์ทั้งหมดให้ต่ำกว่าความยาวที่กำหนด (ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนขั้นตอนที่เข้าใจง่ายที่บุคคลสามารถเก็บไว้ในหัวได้ในเวลาเดียวกัน)
เคยลองมาก่อนหรือไม่? มันสามารถทำให้กระจ่าง / มีประโยชน์ในฐานะแบบจำลองของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ของมนุษย์หรือไม่?
หมายเหตุ:จากมุมมองทางปรัชญามากกว่าทางคณิตศาสตร์ศาสนา / ระบบความคิดจำนวนมากยินดีที่จะเสียสละความสอดคล้องกันเพื่อรองรับความขัดแย้งที่มีอยู่ภายในสัญชาตญาณของมนุษย์ ศาสนาพุทธนิกายเซนน่าจะเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดและลัทธิเต๋าก็ทำสิ่งที่คล้ายกันหากไม่รุนแรง ฉันยังอ่านหนังสือเรื่อง Orthodoxyของ GK Chesterton ซึ่งเขาอธิบายถึงระบบความเชื่อของเขา (เขาเป็นคริสเตียน) และเขายืนยันว่าการยึดมั่นในตรรกะและเหตุผลอย่างเต็มที่นำไปสู่ความวิกลจริตและผลที่ตามมาที่ไร้สาระและไม่สามารถจับความขัดแย้งใน ความคิดและความเป็นจริง
คำตอบ
ใช่ระบบดังกล่าวได้รับการตรวจสอบแล้ว - คำสำคัญ ได้แก่ "ตรรกะที่สอดคล้องกัน" และ "ตรรกะที่เกี่ยวข้อง" Re: แหล่งที่มา Chris Mortensen ได้เขียนบทความสรุปและหนังสือในหัวข้อนี้แม้ว่าจะมีปัญหาบางอย่างก็ตาม(ดูที่นี่ )
อีกคำที่สำคัญในที่นี้คือ "dialetheism" มากประมาณ paraconsistent logics ฯลฯ มี paradox- ใจกว้างในแง่ที่ว่าทฤษฎีในตรรกะดังกล่าวเป็นความไม่สอดคล้องกันเพียงไม่ได้หมายความถึงเรื่องขี้ปะติ๋ว Dialetheism เป็นจุดยืนทางปรัชญาที่มีความขัดแย้งที่แท้จริง Graham Priest ได้เขียนหัวข้อมากมาย (ดูเช่นที่นี่ )
ที่กล่าวว่าฉันไม่ได้ตระหนักถึงความพยายามที่เป็นไปได้ใด ๆ ที่จะหลีกเลี่ยงทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์แรกด้วยวิธีนี้: ฉันรู้ว่าไม่มีผู้สมัครตามธรรมชาติสำหรับทฤษฎีในตรรกะที่สอดคล้องกันซึ่งสามารถคำนวณได้จริงประกอบด้วย $\mathsf{Q}$ในฐานะที่เป็นทฤษฎีย่อย (พูด) เสร็จสมบูรณ์และเป็นเรื่องที่ไม่สำคัญอย่างยิ่ง เราสามารถเข้าใจทฤษฎีบทที่สองที่ไม่สมบูรณ์ได้ในแง่ที่อ่อนแอ: หนังสือของมอร์เทนเซนกล่าวถึงการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะซึ่งประกอบด้วยลำดับแรกแบบคลาสสิก$\mathsf{PA}$ แต่ความไร้สาระคือใคร $\mathsf{PA}$- พิสูจน์ได้. (เนื่องจากความไม่สำคัญไม่ได้หมายความถึงความสอดคล้องกันในบริบทนี้สิ่งนี้ไม่ได้ละเมิดทฤษฎีบทที่สองที่ไม่สมบูรณ์จริง ๆ ) การประยุกต์ใช้ที่โดดเด่นอีกประการหนึ่งคือความสามารถของตรรกะที่สอดคล้องกันเพื่อให้เข้าใจถึงทฤษฎีเซตไร้เดียงสา เห็นเช่นที่นี่