แรงบิดและความเค้นดัดคำนวณจากการโก่งตัว
ฉันต้องการความช่วยเหลือในการตรวจสอบการคำนวณที่ฉันทำ ฉันต้องการทราบว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้วิธีนี้หรือฉันใช้สมมติฐานที่ไม่ถูกต้อง ให้ฉันอธิบายปัญหาคานที่มีความยาว$l$ถูกยึดที่ปลายด้านหนึ่ง กำลัง$F$ สักครู่ $M_v$ถูกนำไปใช้ที่ส่วนท้ายของลำแสงดูรูปด้านล่าง คานมีหน้าตัดเป็นวงกลม เนื่องจากแรงปลายคานจะทำให้ความยาวเสียรูป$\delta$. ทราบเฉพาะการโก่งและพารามิเตอร์ทางเรขาคณิตเช่นความยาวและเส้นผ่านศูนย์กลาง
การใช้ทฤษฎีลำแสงออยเลอร์ - เบอร์นูลลีการเบี่ยงเบนสามารถแสดงเป็น:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
ที่ไหน $E$ คือโมดูลัสของ Young ของวัสดุและ $I$ ความเฉื่อยซึ่งก็คือ $I=\frac{\pi d^4}{64}$สำหรับส่วน scross วงกลม ที่นี่$d$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลำแสง
การใส่ความเฉื่อยใน (1) และจัดเรียงใหม่เป็นนิพจน์ของ $F$ ให้:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
สามารถแทรกในสูตรทั่วไปสำหรับความเค้นดัดสูงสุดในหน้าตัด
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
ที่นี่มีการใส่ความต้านทานการดัดสำหรับหน้าตัดวงกลมทั้งหมดในสูตรแล้วและโมเมนต์ดัดถูกแทนที่ด้วยโมเมนต์สูงสุดซึ่งก็คือ $Fl$.
นี่คือส่วนที่ฉันไม่แน่ใจฉันใช้แรงจาก (2) และใส่เข้าไปใน (3) เพื่อให้ได้ความเค้นสูงสุด โปรดแจ้งให้เราทราบหากเป็นไปได้หรือหากเกิดข้อผิดพลาด
นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณความเค้นเฉือนได้จาก $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ ที่ไหน $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$ซึ่งเป็นความต้านทานแรงบิดในวัสดุ จากนั้นฉันจะใช้เกณฑ์ผลผลิตของฟอนมิเซสเพื่อหาค่าประมาณของความเค้นสูงสุดในวัสดุ
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
อย่างที่ถามไปก่อนหน้านี้ฉันสนใจเป็นหลักว่านี่เป็นวิธีที่เป็นไปได้ในการแก้ไขปัญหานี้หรือถ้าฉันใช้วิธีการ / สมมติฐานบางอย่างที่ไม่ถูกต้อง
คำตอบ
โดยทั่วไปสิ่งที่คุณกำลังทำอยู่ก็โอเค สมมติว่าคุณมีส่วนเบี่ยงเบนเล็กน้อยเพียงพอ (ไม่ว่าจะโดยการงอหรือบิด) คุณสามารถแก้ปัญหาได้อย่างอิสระ ได้แก่ :
- คำนวณแรงที่ต้องการเพื่อให้ได้การดัดตรงตามที่คุณได้ทำ $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- คำนวณขนาดของความเค้นเฉือน
ข้อควรระวัง
อย่างไรก็ตามจากจุดนั้นมีข้อแม้บางประการ เกี่ยวกับ:
a) การดัด : ขนาดสูงสุดของความเค้นปกติที่คุณกำลังคำนวณอยู่ที่ด้านบนและด้านล่างของลำแสง จุดใด ๆ บนแกนกลางควรมีขนาดเป็นศูนย์
b) แรงเฉือนแบบแรงบิด : ขนาดที่ระยะ$\frac d 2$คงที่ แต่ทิศทางเปลี่ยนไป ดูภาพต่อไปนี้:
ขนาดของแรงบิดสูงสุดนั้นถูกต้อง:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) เฉือน : แม้ว่าโดยปกติแล้วจะถูกทิ้ง แต่ก็มีความเครียดเฉือนที่เกี่ยวข้องด้วย$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. โดยปกติจะมีขนาดเล็กมาก แต่ก็มีทิศทางคงที่ (ลงในโอกาสนี้)
ประเด็นที่คุณต้องทำคือคุณต้องเพิ่มเป็นเวกเตอร์ $\tau_s$ และ $\tau_t$. ดังนั้นในจุดที่แตกต่างกันของวัสดุคุณจะมีค่าต่างกัน เมื่อพิจารณาจากภาพที่1และรับจุด A, B, C, D ทวนเข็มนาฬิกาความเค้นเฉือนผลลัพธ์จะเป็น:
- ที่จุดขวาสุด (จุด A (+ x, y = 0) จะเป็น $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- ที่จุดสูงสุด (จุด B (x = 0, + y) จะเป็น $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- ที่จุดซ้ายสุด (จุด C (-x, y = 0) จะเป็น $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- ที่จุดล่างสุด (จุด D (x = 0, + y) จะเป็น $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
ความเครียดสูงสุด
ดังนั้นสิ่งสำคัญคือเกี่ยวกับสมการ Von Mises ของคุณ คุณใช้ค่าใด$\sigma$ และ $\tau$.
คุณจะต้องผ่านแต่ละจุดและใช้ความเครียดที่เกี่ยวข้อง:
- จุด A ใช้ $\sigma_{A} = 0$ และ $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- จุด B (และ D) ให้ใช้ $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ และ $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- จุด C ให้ใช้ $\sigma_{A} = 0$ และ $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่จุดเดียวที่คุณต้องตรวจสอบ ตัวอย่างเช่นคุณควรตรวจสอบอย่างน้อยที่$\pm 135$ องศา (ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในภาพ $\tau_s $ และ $\tau_t$อย่ายกเลิกกัน). แต่นั่นคือความคิด