Ramanujan Identity ที่เกี่ยวข้องกับ JacobiFunction [ซ้ำกัน]
อัตลักษณ์ต่อไปนี้ถูกกล่าวหาว่าเนื่องมาจากรามานุจัน $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$แต่คุณจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร? ตัวส่วนทางด้านขวาเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันจาโคบีดังนั้นอาจมีใครดำเนินการผ่านรูปแบบโมดูลาร์ได้?
คำตอบ
คำตอบบางส่วนสำหรับตอนนี้ เราต้องพิสูจน์สิ่งนั้น$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ หรือ $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ หรือ $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$
โดยที่ LHS ตามทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยมของออยเลอร์เท่ากับ $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ และค่าสัมประสิทธิ์ของ $r^m$ ใน $\prod_{n>k}(1-r^n)$ ขึ้นอยู่กับจำนวนพาร์ติชันของ $m$ เป็นส่วนที่แตกต่างกันด้วยคาร์ดินาลิตี้ $>k$คิดเป็นเครื่องหมายบวกหรือลบตามจำนวนชิ้นส่วน
ตอนนี้ไม่น่าจะเป็นเรื่องยากที่จะพิสูจน์คำกล่าวอ้างของเราโดยใช้การรุกรานแบบเดียวกับที่ใช้ในการพิสูจน์เชิงรวมของทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยมของออยเลอร์หรือสิ่งที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับมัน