ระยะทางสูงสุดในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในอุดมคติ
ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ให้พิจารณาโปรเจ็กไทล์ที่จะเริ่มจาก $(0,0)$ตามที่ยึดตามแกนคาร์ทีเซียน จากนั้นวิถีจะถูกกำหนดโดย$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ ที่ไหน $\theta$ วัดจาก $x$ แกนและแรงโน้มถ่วงทำหน้าที่ตาม $y$ แกน, $R$ หมายถึงช่วงสูงสุดซึ่งอาจแตกต่างกันไปตามความเร็วเริ่มต้นซึ่งมีขนาด $v$.
ใช้สูตรความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งทั่วไป $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ เราได้ระยะทางที่เคลื่อนที่เป็นอินทิกรัลของรูปแบบ D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
รูปแบบการโต้ตอบสามารถพบได้ที่นี่
คำถามของฉัน:ฉันจะหามุมไหนได้อย่างไร$\theta$ ระยะทางที่เดินทางโดยกระสุนปืนจะถูกขยายให้ใหญ่สุดโดยกำหนดให้คงที่ $v$.
ฉันพยายามทำ $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ แต่มันทำให้ฉันไม่รู้ $\frac{dx}{d \theta}$ฉันไม่สามารถเข้าใกล้ได้อีกดังนั้นฉันจึงสร้างกราฟที่นี่และพบว่ามันใกล้จะถึงแล้ว$56.4^\circ$ แต่ไม่แน่ใจว่าได้รับการแก้ไขหรือไม่
คำตอบ
วิธีการของคุณไม่ได้แย่เกินไปในตอนเริ่มต้นยกเว้นว่าคุณดูเหมือนจะเพิกเฉย (หรืออย่างน้อยก็ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน) $R$ ขึ้นอยู่กับ $\theta$เช่นกันซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้ปัญหานี้แก้ไขได้ยาก หากฉันเข้าใจคุณถูกต้องคุณจะต้องการหาค่าของ$\theta$ (สำหรับความเร็วคงที่ $u$) ที่เพิ่มความยาวทั้งหมดของกระสุนปืนในอากาศ ในกรณีนี้การหาอนุพันธ์เช่น$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$ไม่สมเหตุสมผล ตัวแปรที่คุณต้องการขยายให้ใหญ่ที่สุดคือ$a,b,$ และ $c$เนื่องจากคุณจะรวมเข้าด้วยกัน $x$!
แม้ในตอนแรกฉันจะเชื่อเพียงใดว่าปัญหานี้ควรมีผลการวิเคราะห์ที่เรียบง่าย แต่ดูเหมือนว่าจะไม่เป็นเช่นนั้น! เท่าที่ฉันเห็นในการแก้ปัญหาอย่างแท้จริงคุณต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลข ถ้าใครรู้วิธีที่ดีกว่านี้ฉันจะสนใจมาก ให้ฉันอธิบายสิ่งที่ฉันทำ
ฉันตัดสินใจที่จะตั้งสมมติฐานต่อไปนี้:
ความเร็วรวม (ค่าคงที่) คือ 1 นี่ไม่ใช่ปัญหาฉันเพิ่งเลือกหน่วยที่ $u=1$ซึ่งเป็นที่ยอมรับอย่างสมบูรณ์
ฉันจะเปลี่ยนไป $u_y$ตามข้อ จำกัด ข้างต้น คุณค่าของ$u_x$ จะได้รับการแก้ไขโดย $\sqrt{1 - u_y^2}$.
ดังที่คุณได้ชี้ให้เห็น (แต่มีสูตรแตกต่างกันเล็กน้อย) ความยาวทั้งหมดที่กระสุนปืนครอบคลุมคือ:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(ในกรณีนี้ฉันเลือกที่จะกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งตามเวลา $t$ซึ่งฉันรวมจาก $t=0$ ถึง $t=2 u_y/g$ซึ่งสามารถแสดงเป็นเวลาเที่ยวบินทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย คุณก็ทำได้เช่นกัน)
โดยใช้ความจริงที่ว่า
\ เริ่ม {สมการ} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {สมการ}
มันง่ายมากที่จะแสดงให้เห็น
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
ในบางครั้งเช่นนี้การ "ปรับขนาด" ให้สมการมีประโยชน์เพื่อไม่ให้ขีด จำกัด ขึ้นอยู่กับ $u_y$. เราสามารถกำหนดเวลาที่ "ไร้มิติ" ได้$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ เพื่อให้อินทิกรัลกลายเป็น:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่น่ารังเกียจในการแก้ปัญหาด้วยมือ บางทีคนที่Math.SEจะสามารถทำมันได้อย่างยุติธรรม? ฉันตัดสินใจใช้Mathematicaเพื่อแก้ปัญหานี้
ก่อนอื่นฉันรวมฟังก์ชั่นเป็นตัวเลขและพล็อตอินทิกรัลสำหรับค่าต่างๆของ $u_y$ ดังที่แสดงด้านล่างและรู้สึกประหลาดใจที่พบว่า $L$ มีค่าสูงสุด (ความคิดแรกของฉันอาจเป็นไปได้ว่ามันไม่มี) สำหรับ $u_y$ อยู่ระหว่าง 0.82 ถึง 0.84
ด้วยเหตุนี้ฉันจึงได้Mathematicaเพื่อรวมฟังก์ชันและพบว่า
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
ไม่มีอะไรหยุดเราจากการใช้หน่วยที่ $u=1$ และดังนั้นจึง $u_y \in (0,1)$และในหน่วยเหล่านี้
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
ต่อไปฉันพยายามขยายสิ่งนี้ให้เป็นฟังก์ชันของ $u_y$ โดยการหาอนุพันธ์และเทียบเป็นศูนย์ซึ่งนำไปสู่:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
นี่คือสมการที่ยอดเยี่ยมและไม่สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย แต่ก็ไม่ยากเกินไปที่จะแก้ด้วยตัวเลขเพื่อหาสิ่งนั้น$L$ ขยายใหญ่สุดเมื่อ $$u_y = 0.833557,$$
ซึ่งอยู่ในช่วงที่เราคาดหวัง สิ่งนี้สอดคล้องกับมุมของ$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$