เราจะแนบไฟล์ $2$- เซลล์?

Aug 15 2020

นี่เป็นปัญหาจากโทโพโลยี ALgebraic ของ Hatcher

"คำนวณความคล้ายคลึงกันของพื้นที่ที่ได้รับจาก $D^2$ โดยการลบการตกแต่งภายในของสองดิสก์ย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อกันในการตกแต่งภายในครั้งแรก $D^2$ จากนั้นระบุวงกลมขอบเขตผลลัพธ์ทั้งสามเข้าด้วยกันผ่าน homeomorphisms โดยรักษาทิศทางตามเข็มนาฬิกาของวงกลมเหล่านี้ "

ฉันพบวิธีแก้ปัญหาที่นี่ https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. จากภาพคุณจะเห็นว่าโซลูชันใช้โครงสร้าง CW และกล่าวว่าไฟล์$2$- เซลล์ $U$ ยึดติดกับคำ $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. คำถามของฉันคือทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?

ดูเหมือนมีเหตุผลมากกว่าสำหรับฉันที่จะแนบ $U$ ถึง $abab^{-1}cac^{-1}$เนื่องจากเราต้องการให้วงกลมทั้ง 3 เป็นตามเข็มนาฬิกา ฉันสามารถเข้าใจขั้นตอนได้อย่างคลุมเครือเราเริ่มต้นที่$x$จากนั้นเราไปรอบ ๆ $a$ตอนนี้เราผ่านไป $b$ เพื่อเข้าถึงวงในจากวงนอกแล้วเราไปรอบ ๆ $a$ อีกครั้งจากนั้นเราก็ทำเช่นเดียวกันสำหรับ $c$. แต่ทำไมเราถึงทวนเข็มนาฬิกาเมื่อเข้าไปข้างใน?

คำตอบ

1 AnginaSeng Aug 16 2020 at 05:42

คิดว่าตัวเองนั่งอยู่ข้างใน $U$และคิดว่าขอบเขตล้อมรอบอย่างไร คุณเริ่มต้นที่จุดสูงสุด$x$ จากนั้นเดินทางตามเข็มนาฬิการอบวงนอก ($a$) แล้วเดินไปตามส่วน $b$ (ตอนนี้คุณทำเสร็จแล้ว $ab$) จากนั้นทวนเข็มนาฬิกาเดินไปตามวงกลมด้านในซ้าย ($aba^{-1}$) แล้วย้อนกลับไป $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) เป็นต้น

ประเด็นก็คือเมื่อคุณอยู่ข้างใน $U$การเดินไปตามวงกลมด้านในเป็นทวนเข็มนาฬิกา ตรงข้ามกับทางเดินรอบวงนอก เพียงจำไว้ว่าการตกแต่งภายในของ$U$ มักจะอยู่ข้างเดียวกับที่เดินไปตามขอบเขตของมัน