เราพลิกสัญลักษณ์อสมการเมื่อหารหรือคูณด้วยตัวแปรนิพจน์หรือไม่?

Aug 19 2020

เราพลิกสัญลักษณ์อสมการเมื่อหารหรือคูณด้วยตัวแปรนิพจน์แบบเดียวกับที่เราคูณด้วยหรือหารด้วยจำนวนลบหรือไม่?

ขณะนี้ฉันมีความสับสนเกี่ยวกับการทำความเข้าใจอสมการลอการิทึม

มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งที่ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมฉันถึงไม่ถูกต้อง

$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$

  1. เพื่อให้เป็นจริงฉันรู้ว่า $(2x-1)/(x-2) > 0,$ ดังนั้นเราควรจะสามารถยกเลิก (คูณทั้งสองข้าง) ตัวแปรนิพจน์ได้ $(x-2).$ โดยไม่ต้องเปลี่ยนสัญลักษณ์จาก $>$ ถึง $<$ อย่างไรก็ตามหลังจากการคูณฉันได้ผลลัพธ์ $x > 1/2$ แทนคำตอบที่ถูกต้อง $x < 1/2.$

  2. ฉันก็รู้เช่นกัน $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ ดังนั้นเราควรจะยกเลิกตัวแปรนิพจน์ได้ด้วย $(x-2).$ โดยไม่ต้องเปลี่ยนสัญลักษณ์จาก $<$ ถึง $>$ อย่างไรก็ตามหลังจากการคูณฉันได้ผลลัพธ์ $x < -1$ แทนคำตอบที่ถูกต้อง $x > -1.$

หลังจากรวมทั้งสองกรณีในบรรทัดตัวเลขคำตอบที่ถูกต้องคือ $-1 < x < 1/2,$

แต่ฉันเข้าใจแล้ว $x < -1, x > 1/2,$ ยกเว้น $x=2,$ ซึ่งทดสอบแล้วว่าไม่ถูกต้อง

ฉันไม่แน่ใจว่าการไม่เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นที่มาของข้อผิดพลาดของฉันหรือไม่ซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันถาม

เนื่องจากกระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการคูณหรือหารตัวแปรนิพจน์ฉันจึงรู้สึกว่าวิธีการของฉันไม่เหมาะสมเนื่องจากความเป็นไปได้ของการแก้ปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องและอาจควรวาดและกรอกข้อมูลในตารางการทดลอง + ข้อผิดพลาดแทน

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับเวลาและคำตอบ

คำตอบ

1 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 15:21

เรามี $\frac{2x-1}{x-2}>0$. คูณด้วย$(x-2)^2$ ทั้งสองด้านเรามี

$$(2x-1)(x-2) > 0$$

และด้วยเหตุนี้ $x < \frac12$ หรือ $x > 2$.

ความผิดพลาดของคุณคือคุณได้คิดอย่างนั้น $x-2>0$ ต้องเป็นจริง

เราก็รู้เช่นกัน $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$

ถ้า $x>2$แล้วเราก็มี $2x-1 < x-2$ซึ่งเทียบเท่ากับ $x < -1$ ซึ่งขัดแย้งกับ $x>2$.

ถ้า $x < \frac12$แล้วเราก็มี $2x-1 > x-2$ และด้วยเหตุนี้ $x > -1$.

สรุปคือ $-1 < x < \frac12$.