เราสามารถรับประกันได้หรือไม่ว่ามีไฟล์ $\epsilon' > 0$ ที่ถือสำหรับความไม่เท่าเทียมนี้?

Question

ขณะนี้ฉันกำลังพยายามพิสูจน์กฎหมายขีด จำกัด การคูณ:

ปล่อย $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ เป็นลำดับบรรจบกันของจำนวนจริงและ $X, Y$ เป็นตัวเลขจริง $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ และ $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

เนื่องจากทั้งสอง $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ และ $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ มาบรรจบกันเป็น X และ Y ตามลำดับเรารู้ว่า $|a_n - X| \leq \epsilon'$ และ $|b_n - Y| \leq \delta$.

นอกจากนี้เรายังรู้โดยคำศัพท์บางคำที่เราได้พิสูจน์ก่อนหน้านี้ในหนังสือเล่มนี้ $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

นี่เป็นสิ่งที่สมบูรณ์แบบเพราะฉันสามารถใช้แสดงสิ่งนั้นได้ $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ สำหรับอนุญาโตตุลาการบางคน $\epsilon > 0$ตราบเท่าที่ฉันแสดงให้เห็นว่ามีอยู่จริง $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ และมีอยู่บ้าง $0 < \delta < 1$ ดังนั้น $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

ฉันสามารถพิสูจน์ส่วนแรกได้โดยใช้คุณสมบัติของอาร์คิมีดีนของเรียล แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับส่วนที่สอง ส่วนที่สองรู้สึกว่าควรใช้งานได้เนื่องจากเราสามารถเลือกขนาดเล็กได้ตามอำเภอใจ$\delta$แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเช่นนั้น ฉันทำอะไรผิดหรือเปล่า? เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนข้อพิสูจน์นี้เล็กน้อยเพื่อให้ใช้งานได้?

Answer 1

ถ้า $a_n \to a, b_n \to b$ แล้วมีบ้าง $M$ ดังนั้น $|a|,|b_n| \le M$.

แล้ว $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

ตอนนี้เลือก $N$ ใหญ่พอที่จะ $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.