สับสนกับมิติข้อมูลและการฝัง
ฉันยังใหม่กับโทโพโลยีและขออภัยล่วงหน้าสำหรับคำถามนี้อาจจะง่ายมาก (หรือเชิงปรัชญา)
ฉันมักจะคิดว่าทอรัสเป็นพื้นผิวรูปโดนัทใน $\mathbb{R}^3$. อย่างไรก็ตามหลังจากที่ฉันเริ่มศึกษาโทโพโลยีฉันพบว่าทอรัสคือ$S^1 \times S^1$ และมันถูกกำหนดโดยธรรมชาติใน $\mathbb{R}^4$. แต่ในขณะเดียวกันอย่างที่ฉันเข้าใจการแสดง 3 มิติที่เป็นที่นิยมของพรูคือการฝังใน$\mathbb{R}^3$ดังนั้นตามความหมายของการฝังพรู 4d ธรรมชาติจึงเป็น homeomorphic เพื่อให้มองเห็นพรู 3 มิติได้อย่างง่ายดาย
เมื่อเรานำผลหารของกำลังสอง (โดยระบุด้านข้าง) เพื่อสร้างทอรัสเราไม่ได้หลอกตัวเองให้นึกภาพสิ่งนี้ใน $\mathbb{R}^3$เนื่องจากเราได้รับ "ชิ้น" บางส่วนของพรู 4d จริง ฉันอาจจะตอบคำถามของตัวเองได้ที่นี่โดยระบุว่าการฝังนั้นเป็นเรื่องธรรมชาติ แต่ฉันก็ยังอยากจะเข้าใจว่าอะไรคือความเชื่อมโยงระหว่างมิติการฝังและชีวจิต
Torus เป็น 2 มิติเนื่องจาก 2 จุดนั้นเพียงพอที่จะกำหนดได้ (หนึ่งจุดสำหรับแต่ละจุด $S^1$) แต่แต่ละแวดวงจะถูกนำเสนออย่างเป็นธรรมชาติ $\mathbb{R}^2$ดังนั้นเราจึงต้องการ $\mathbb{R}^4$.
เราสูญเสีย "ข้อมูล" หรือไม่เมื่อเรา "ฉาย" พรูจาก $\mathbb{R}^4$ ถึง $\mathbb{R}^3$เหรอ? มันเป็นเพียงการสูญเสียทางสายตาหรือทอโพโลยี?
ฉันนึกภาพออก 3 ลูก $\mathbb{R^3}$ และ "ย่อขนาด" เป็น 2 ลูก (ดิสก์) ใน $\mathbb{R}^2$ โดย $z \to 0$. ในช่วงเปลี่ยนจาก$\mathbb{R}^3$ ถึง $\mathbb{R}^2$ เห็นได้ชัดว่าเราสูญเสียทั้งข้อมูลภาพและโครงสร้าง (n-ball เป็น homeomorphic ของ m-ball $\iff$ n = ม.)
homeomorphism รักษามิติ "ภายใน" แต่ไม่ "สนใจ" เกี่ยวกับพื้นที่ภายนอก (ภายนอก) หรือไม่?
คำตอบ
ฉันไม่ค่อยมองว่าพรู 'ธรรมชาติ' เป็น $S^1 \times S^1$ นั่งอยู่ใน $\mathbb{R}^4$. มีหลายวิธีที่เทียบเท่ากัน (อ่าน: homeomorphic) ในการมองเห็นพรูซึ่งหนึ่งในนั้นคือภาพ 'โดนัท' ที่คุ้นเคย อีกสองคนจะเป็น$S^1 \times S^1$ นั่งอยู่ใน $\mathbb{R}^4$หรือเป็นผลหารของกำลังสองตามที่คุณระบุ
บรรทัดล่างคือว่านักคณิตศาสตร์พรูเป็นวัตถุในสิทธิของตนเอง ไม่ว่าจะมีพื้นที่แบบยุคลิดโดยรอบซึ่งคุณสามารถฝังได้หรือไม่นั้นในบางแง่ก็ไม่เกี่ยวข้อง เป็นเพียงชุดของจุดร่วมกับชุดของ 'ส่วนย่อยที่เปิด' ซึ่งกำหนดรูปร่างของมัน
เพื่อตอบคำถามของคุณ: กำหนดพื้นที่ทอพอโลยี (ตัวอย่างเช่นช่องว่าง $X$ซึ่งเป็นผลหารของกำลังสองโดยการระบุด้านตรงข้ามที่มีโทโพโลยีผลหาร) เราสามารถลองนึกภาพได้โดยการฝังลงในช่องว่างแบบยุคลิด การฝังตัวของพื้นที่ทอพอโลยี$X$ เข้าไปในอวกาศยุคลิด $\mathbb{R}^n$ เป็นเพียงแผนที่ $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ ดังนั้น $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ เป็น homeomorphism
ปรากฎว่า $X$ สามารถฝังลงในไฟล์ $\mathbb{R}^3$แต่ยังอยู่ใน $\mathbb{R}^4$. คิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็น 'การตระหนักรู้'$X$ในพื้นที่โดยรอบที่ใหญ่กว่า การตระหนักรู้ทั้งสองนี้เป็นลักษณะของ homeomorphic$X$(ตามความหมายของการฝังคืออะไร) ดังนั้นพวกมันจึงเป็น homeomorphic ซึ่งกันและกัน ดังนั้นข้อมูลจะไม่สูญหาย
มันไม่ถูกต้องที่จะคิดว่าภาพ 'โดนัท' ของทอรัสเป็นภาพจำลองที่ฉายใน $\mathbb{R}^4$. ไม่มีการฉายภาพเกิดขึ้น (เช่นเมื่อคุณฉายทรงกระบอกแนวตั้งในแบบ 3 มิติเป็นชิ้นวงกลมในระนาบแนวนอน) โดนัทเป็นไม่เป็นชิ้น 3 มิติของรูปทรง 4D ก็รูปร่างเหมือนกัน
คุณพูดถูกต้องว่ามิติของพรูคือ $2$. มิตินี้ยังไม่ขึ้นกับพื้นที่โดยรอบ Homeomorphism จึงรักษามิตินี้ไว้และไม่สนใจมิติภายนอก มีข้อแม้อยู่เล็กน้อยที่นี่มันค่อนข้างยากที่จะระบุว่า 'มิติ' หมายถึงอะไรสำหรับพื้นที่ทอพอโลยีดังนั้นการพิสูจน์การอ้างว่าทอรัสมีมิติที่ 2 จึงเป็นเรื่องยาก