แสดงว่า $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ สามารถเขียนเป็น $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
ฉันได้อ่านลิงก์ต่อไปนี้เกี่ยวกับคำจำกัดความของ Brownian Bridge และพบข้อความต่อไปนี้ (สัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยที่ 9 ในลิงก์ด้านบน):
สมมติ $W_t$ คือการเคลื่อนที่แบบ Brownian มาตรฐานกำหนด $X_1=1$แล้วสำหรับ $h \in [0,1]$, กระบวนการ $X_t$ คือสะพานบราวเนียน:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
ฉันสามารถเข้าใจหลักฐานของคำแถลงนี้ที่แสดงในลิงก์ด้านบนและไม่มีปัญหากับการอ้างสิทธิ์ดังกล่าว $X_t$ด้านบนคือสะพานบราวเนียน อย่างไรก็ตามผู้เขียนกล่าวต่อไปว่า:
"ในรูปแบบที่แตกต่างข้างต้นสามารถเขียนเป็น:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
ที่จริงฉันไม่สามารถเชื่อมต่อรูปแบบอนุพันธ์กับสมการ (1) ที่กำหนดให้ $X_t$.
เมื่อฉันเขียนรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลใหม่ในสัญกรณ์ "แบบยาว" ฉันจะได้รับ ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
ข้างต้นชัดเจนไม่เหมือนกับคำจำกัดความเดิมของ $X_t$กำหนดในสมการ (1) ฉันคิดว่าอาจมีแอปพลิเคชัน lemma ของ Ito สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชาญฉลาด$F(X_t,t)$ซึ่งฉันไม่สามารถเข้าใจได้ (ฉันได้ลองเล่นกับตัวแปรของ $F(X_t,t):=X_te^t$แต่ไม่มีประโยชน์)
มีวิธี "แก้" สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น (1) หรือไม่หรือผู้เขียนพิมพ์ผิด
แก้ไข : หลังจากอ่านคำตอบที่เชื่อมโยงในความคิดเห็นด้านล่างและด้วยจิตวิญญาณของคำตอบของฉันเองเกี่ยวกับสัญกรณ์สำหรับคำถามอื่นที่นี่ฉันได้พยายามเขียนคำตอบที่เชื่อมโยงใหม่โดยใช้สัญกรณ์แบบยาว (เพราะฉันต่อสู้กับการตีความบางขั้นตอน ของคำตอบสัญกรณ์มือสั้น):
ฉันยังคงได้รับคำตอบที่ผิด คุณช่วยฉันหน่อยได้ไหมว่าฉันผิดพลาดตรงไหน .
"เคล็ดลับ" ใน aswer ที่เชื่อมโยงดูเหมือนจะใช้คำศัพท์ของ Ito กับฟังก์ชัน $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. อนุพันธ์คือ:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
นอกจากนี้เรายังมี:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ ดังนั้น:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
การคูณด้วย $1-t$ จากนั้นให้:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
ดังนั้นเราจึงมี:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
มุ่งเน้นไปที่ระยะ $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$เราสามารถเขียน:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
โปรดสังเกตว่าคำในวงเล็บด้านบนเช่น $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$ในความเป็นจริงไม่เท่ากับ$X_h$ (ตามที่กำหนดไว้ในสมการ (1)) ดังนั้นในความเป็นจริงเราไม่มีสิ่งนั้น:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
คำตอบ
ปล่อย $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. ต่อไปมาดูที่
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
และแยกความแตกต่างโดยใช้คำศัพท์ของ It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
ดังนั้นจึงมีการพิมพ์ผิด
หากต้องการแก้
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
จากนั้น (เช่นเดียวกับใน ODE) ใช้ปัจจัยการรวม
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
เพื่อแก้ SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
สำหรับการแก้ปัญหา
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
หมายเหตุข้อควรระวัง: คุณไม่ควรใช้คำนามของ It ^ o เพื่อแก้ SDE สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่รัดกุม (เปรียบเทียบ Oksendal, บทที่ 5)