แสดงว่าการย่อย $K$ ของ $\mathbb H$ มีฟิลด์ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกถึง $\mathbb C$
ปล่อย $K$ เป็นส่วนย่อยของ $\mathbb H$, วงแหวนของควอเทอร์เนียน, กับ $\mathbb R \subseteq K$ และ $\mathbb R \neq K$ที่นั่น $\mathbb R$คือวงแหวนของจำนวนจริง
แสดงว่ามีอยู่จริง$x \in K$ ดังนั้น $ x^2 = -1$. ใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่ออนุมานว่า$K$ มีฟิลด์ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกถึง $\mathbb C$วงแหวนของจำนวนเชิงซ้อน
เหตุผลของฉัน:
ตั้งแต่ $\mathbb R \subseteq K$ แต่ $\mathbb R \neq K$ควรมีอยู่บ้าง $u \in \{i, j, k\}$, ดังนั้น $u \in K$, ที่ไหน $i, j, k$ เป็นหน่วยควอเทอร์เนียนและโดยเฉพาะอย่างยิ่งตอบสนอง
$i^2=j^2=k^2=-1$
สิ่งนี้เกิดขึ้นกับฉันเพราะเพื่อให้ $K$ จะแตกต่างจาก $\mathbb R$จะต้องมีหน่วยเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งหน่วย ถ้า$K$ มีอยู่จริง $u$แล้ว $u$ เป็นวิธีแก้ปัญหาของ
$x^2=-1$
ณ จุดนี้ฉันแสดงให้เห็นว่าถ้าทุกอย่างถูกต้องนั่น $K$ ประกอบด้วย $x$แต่ฉันไม่รู้ว่าจะแสดงส่วนสุดท้ายของคำถามอย่างไร
ฉันสงสัยว่าฉันสามารถพิจารณา
$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$
เรามีสิ่งนั้น $\mathbb R[u] \subseteq K$, ตั้งแต่ $\mathbb R \subseteq K$ และ $u \in K$ และ $K$ เป็นแหวน
เพื่อแสดงว่า $\mathbb R[u]$ เป็นฟิลด์และเป็นไอโซมอร์ฟิก $\mathbb C$มันจะ "ง่าย" ที่จะใช้พหุนามและผลหารในความเป็นจริงเรามี
$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$
ที่ไหน $\mathbb R[x]$ คือวงแหวนของพหุนามมากกว่า $\mathbb R$ และ $(x^2+1)$ เป็นอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดยพหุนาม $x^2+1$ซึ่งไม่มีรากใน $\mathbb R$ทำให้สูงสุด isomorphism นี้ถือเพราะ$x^2+1$ เป็นพหุนามขั้นต่ำของ $u$ เกิน $\mathbb R$.
แต่เราก็รู้เช่นกัน
$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$
ที่เราสามารถดูได้จริง $\mathbb C$ เช่น $\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.
เราสรุปว่า
$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$
ตอนนี้วิธีนี้อาจถูกต้องหรือไม่ก็ได้ แต่คำถามที่แท้จริงของฉันคือการหาวิธีทำโดยไม่ต้องใช้ผลหารอุดมคติสูงสุดและคุณสมบัติ "ขั้นสูง" ของพหุนามในฟิลด์เนื่องจากแบบฝึกหัดนี้ให้ไว้ในหลักสูตรของฉันก่อน ทั้งหมด.
คำตอบ
ดังที่ทราบกันดีว่า $\Bbb H$ มีพื้นฐานประกอบด้วย
$1 \in \Bbb R \tag 1$
และ $i$, $j$, $k$ ดังนั้น
$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$
$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$
แน่นอน (2) และ (3) รวมกันเป็นนัยว่า $i$, $j$, $k$ต่อต้านการเดินทางได้แก่ :
$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$
ด้วยอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่า
$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$
โดยใช้ (2) - (4) เราคำนวณ $(ai + bj + ck)^2$, ที่ไหน $a, b, c \in \Bbb R$:
$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$
ให้อย่างน้อยหนึ่งใน $a$, $b$, $c$ไม่หายไป สิ่งนี้ให้ผลตอบแทน
$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$
ตอนนี้ถ้า $K$ เป็นส่วนย่อยของ $\Bbb H$ ด้วย
$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$
แล้ว $K$ ต้องมีองค์ประกอบ $q \in\Bbb H$ ของแบบฟอร์ม
$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$
ด้วย
$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$
และอย่างน้อยหนึ่งใน $a$, $b$, $c$ ไม่ใช่ศูนย์สภาพที่เห็นได้ง่ายว่าเทียบเท่ากับ
$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$
ตั้งแต่ $K$ คือการย่อยและ (8) หมายถึง
$r \in K, \tag{12}$
(9) ให้ผลตอบแทน
$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$
และจากสิ่งที่เราได้เห็นข้างต้น
$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$
ตอนนี้ในแง่ของ (8) และ (10)
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$
และด้วยเหตุนี้
$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$
ด้วย
$u^2 = -1, \tag{17}$
ดังแสดงข้างต้นใน (14); ดังนั้นสนาม
$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$
และการใช้ (17) จะเห็นได้ง่ายว่าองค์ประกอบของ $\Bbb R(u)$ เป็นรูปแบบทั้งหมด $a + bu$, $a, b \in \Bbb R$และดังนั้นการทำแผนที่
$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$
นิยาม twixt ของ isomorphism $\Bbb R(u)$ และ $\Bbb C$; เราปล่อยให้ผู้อ่านที่มีส่วนร่วมเพียงพอในการให้รายละเอียดง่ายๆ
Nota Bene วันพุธที่ 20 สิงหาคม 2020 23:24 น. PST:เราสังเกตว่าการสาธิตข้างต้นบ่งชี้ว่ามีsubalgebrasจำนวนมาก$\Bbb H$ ที่มี $\Bbb R$ และ isomorphic ถึง $\Bbb C.$
.
จุดเริ่มต้นของคุณผิด สิ่งที่คุณรู้ก็คือมีควอเทอร์เนียน$a+bi+cj+dk$ เช่นนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน $b,c,d$ ไม่ใช่ศูนย์
ไม่มีเหตุผลว่าทำไมต้องมี quaternion ระดับประถมศึกษา $K$.
ตัวอย่างง่ายๆคือ $\mathbb{R}[q]$, ที่ไหน $q=(i+j+k)/\sqrt{3}$ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกของฟิลด์ $\mathbb{C}$ และไม่มี $i,j,k$.
ปล่อย $u\in K$, $u\notin\mathbb{R}$. จากนั้นควอเทอร์เนียน$1,u,u^2,u^3,u^4$ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นเนื่องจาก $\mathbb{H}$ มีมิติที่สี่มากกว่า $\mathbb{R}$. ดังนั้นจึงมีพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงที่หายไป$u$. ในทางกลับกันพหุนามสามารถนำมาแยกเป็นปัจจัยที่ไม่สามารถวัดได้โดยมีระดับหนึ่งหรือสองและเนื่องจากควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตการหารปัจจัยอย่างหนึ่งจึงต้องหายไป$u$. ปัจจัยดังกล่าวต้องมีระดับสองมิฉะนั้น$u$ จะเป็นเรื่องจริง
โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปพหุนามเป็น monic ดังนั้นจึงมี$a,b\in\mathbb{R}$ ดังนั้น $u^2+au+b=0$. ตอนนี้เราสามารถเติมเต็มกำลังสองได้แล้ว$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$ โปรดทราบว่า $b-a^2/4>0$, เพราะ $x^2+ax+b$โดยการสันนิษฐานว่าเป็นพหุนามที่ไม่สามารถวัดได้ ชุด$c=\sqrt{b-a^2/4}$ และ $v=(u-a/2)/c$; มันเป็นไปตามสมมติฐานที่ว่า$v\in K$. แล้ว$c^2v^2+c^2=0$ดังนั้น $v^2=-1$.
ตอนนี้แสดงว่า $\mathbb{R}[v]$เป็นสนาม เนื่องจากมันเป็นพีชคณิตมากกว่า$\mathbb{R}$มันต้องเป็นไอโซมอร์ฟิกถึง $\mathbb{C}$.