สำหรับนายก $p \ge 5$ มีไฟล์ $n$ ด้วย $2 \le n \lt p -1$ ด้วย $[n]$ รากดั้งเดิมของความสามัคคีของ $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.

Question

ปล่อย $p$ เป็นที่น่าพอใจอย่างยิ่ง $p \ge 5$.

ต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่?

มีจำนวนเต็ม $n$ น่าพอใจ

$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[n]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(กล่าวคือ $[n]$ เป็นรากเหง้าดั้งเดิมของความสามัคคี)

หากข้อความนั้นเป็นจริงมีคำถามตามมา

มีจำนวนเฉพาะที่สามารถเลือกได้หรือไม่ $n$เหรอ?

งานของฉัน

ฉัน 'เล่นรอบ ๆ ' ในทฤษฎีจำนวนจนถึงจุดที่ตอนนี้เป็น 'สิ่งที่แน่นอน' ที่ใช้งานง่าย แต่ทุกอย่างสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยตัวอย่างตัวนับ เนื่องจากถ้าเป็นจริงคำตอบอาจเกี่ยวข้องฉันจึงเพิ่มแท็กคำขออ้างอิง ฉันเพิ่มแท็กการคาดเดาด้วย แต่ฉันจะลบสิ่งนั้นออกหากไม่สามารถป้องกันได้จากความคิดเห็นที่ฉันได้รับ

Answer 1

โอเคฉันเข้าใจกรณีทั่วไปแล้ว ฉันจะยังคงทิ้งคำตอบอื่นไว้

จำได้ว่า $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.

โดยเฉพาะแต่ละรูทดั้งเดิม $\alpha$ mod $p$ มีลิฟท์เดียว $\hat{\alpha}$ mod $p^2$ ซึ่งไม่ใช่แบบดั้งเดิมและสอดคล้องกับสิ่งที่อาศัยอยู่ใน $\{e\} \times C_{p-1}$กลุ่มย่อยใน isomorphism ข้างต้น เราจะเห็นได้จากสิ่งนี้ว่าถ้า$\hat{\alpha}$ เป็น mod ดั้งเดิม $p$ แต่ไม่ใช่ mod $p^2$ มากกว่าม็อดผกผันแบบทวีคูณ $p^2$ (ซึ่งเป็น $\hat{\alpha}^{p-2}$ ในกรณีนี้) ยังเป็น mod ดั้งเดิม $p$ แต่ไม่ใช่ mod $p^2$.

ตกลงตอนนี้สมมติ $\alpha < p$ เป็น mod root ดั้งเดิม $p$ แต่ไม่ $p^2$. พิจารณาหมายเลขเฉพาะ$\beta < p$ ดังนั้น $\alpha \beta \equiv 1$ mod $p$. ฉันอ้างว่า$\beta$ ต้องเป็นม็อดรูทดั้งเดิม $p^2$. สมมติว่าไม่แล้ว$\beta$ ต้องเป็นค่าผกผันของ $\alpha$ mod $p^2$ เนื่องจากมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ดั้งเดิมที่เป็นเอกลักษณ์สอดคล้องกับ $\beta$ mod $p$และเรารู้ค่าผกผันของ $\alpha$เป็นหนึ่งเดียว อย่างไรก็ตามตั้งแต่นั้นมา$\alpha < p $ และ $\beta < p$ เรามีสิ่งนั้น $\alpha \beta < p^2$ดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถผกผันได้

Answer 2

นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่าเมื่อใด $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าถ้า $p \equiv 1 \mod 4$ แล้ว $\alpha$ เป็น mod root ดั้งเดิม $p$ iff $-\alpha$คือ. สมมติ$(-\alpha)^b \equiv 1$ สำหรับบางคน $b < p-1$. ถ้า$b$ ถึงตอนนั้นเราก็มี $\alpha^b \equiv 1$ซึ่งขัดแย้งกับ $\alpha$เป็นแบบดั้งเดิม ถ้า$b$ เป็นเรื่องแปลก $\alpha^b \equiv -1$ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $b = \frac{p-1}{2}$ แต่นั่นไม่ใช่เรื่องแปลกตั้งแต่นั้นมา $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.

เอาล่ะตอนนี้มาดู mod กัน $p^2$. ฉันอ้างว่าถ้า$\alpha < p$ เป็น mod root ดั้งเดิม $p$ จากนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน $\alpha$ หรือ $p-\alpha$ เป็น mod ดั้งเดิม $p^2$.

ตั้งแต่ $\alpha$ และ $p-\alpha$ เป็น mod ดั้งเดิม $p$แล้ว mod $p^2$ มีทั้งแบบดั้งเดิมหรือมีระเบียบ $p-1$. สมมติว่าเรามีทั้งสองอย่าง$\alpha^{p-1}$ และ $(p-\alpha)^{p-1}$ มีความสอดคล้องกับ $1$ mod $p^2$. การขยายสิ่งนี้ด้วยทฤษฎีบททวินามที่เราได้รับ:

$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$

ซึ่งหมายความว่า $(p-1)p\alpha$ หารด้วย $p^2$แต่นั่นเป็นความขัดแย้งตั้งแต่นั้นมา $p$ เป็นนายกและ $\alpha < p$.