สารละลายภายนอกจากการแทนที่ในสมการ
ฉันเจอตัวอย่างนี้ว่าคุณจะจบลงด้วยวิธีแก้ปัญหาภายนอกได้อย่างไร แต่ฉันสงสัยว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไร เรามีสมการ:$$x^2+x+1=0 $$ เนื่องจาก x = 0 ไม่เป็นไปตามสมการคุณสามารถหารด้วย x ทั้งสองด้านซึ่งให้ผล: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$ซึ่งเทียบเท่ากับสมการแรกของเรา จาก eqution แรกของเราเราสามารถสรุปได้ว่า:$$-x^2=x+1$$ ตอนนี้เราแทนที่มันลงในสมการที่สองเพื่อรับ:$$x^2=\frac{1}{x}$$ ซึ่งส่งผลให้ $$x^3=1$$ซึ่งเทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าของเราเนื่องจาก x ไม่สามารถเป็น 0 อย่างไรก็ตามคำตอบหนึ่งจากสมการสุดท้ายของเราคือ x = 1 ซึ่งไม่ใช่คำตอบของสมการเดิมของเรา ฉันมีความคิดที่คลุมเครือว่ามันอาจเกี่ยวข้องกับการที่คุณได้สมการกำลังสองและคุณเริ่มต้นด้วยกำลังสองและขั้นตอนนั้นบ่งบอกถึงสิ่งต่อไปนี้ไม่ใช่ในทางกลับกัน แต่คุณสามารถให้คำตอบโดยละเอียดว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น เกิดขึ้น? โปรดให้ตัวอย่างเพิ่มเติมได้หรือไม่?
คำตอบ
ถ้าเราโทร $A(x)=x^2+x+1$ และ $B(x)=x+1+\frac1x$เราสามารถจัดผังข้อความของคุณได้ดังนี้: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
ในขณะที่การรักษาความเท่าเทียมกันคุณควรเก็บไว้ $A(x)=0$ ใน $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
การเปลี่ยนตัวนี้ ($x+1=-x^2$) ขยายชุดรากของสมการ
เพราะ $-x^2$ ยังขึ้นอยู่กับ $x$.
คุณสามารถทดแทน $x+1=y$, ตัวอย่างเช่น.
ตัวอย่างเพิ่มเติมเมื่อการทดแทนที่คล้ายกันทำให้เกิดปัญหาที่คล้ายกัน
ให้เราต้องแก้ $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
เราได้รับ: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ หรือ $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ ตอนนี้ตั้งแต่ $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ ซึ่งอาจได้รับสิ่งที่ไม่ดีเราได้รับ: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ หรือ $$x(440x^2+630x+189)=0$$ และเราได้เป็นหนึ่งในตัวเลือก $x=0$.
ง่ายต่อการดูว่า $0$ ไม่ใช่รากของสมการเริ่มต้นและเกิดขึ้น
เนื่องจากเราใช้การทดแทนที่ไม่ถูกต้อง $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
ตอนนี้เราต้องตรวจสอบว่ารากทั้งหมดของสมการ $440x^2+630x+189=0$ เป็นรากของสมการเริ่มต้นซึ่งไม่ใช่เรื่องง่าย
หากเราต้องการหลีกเลี่ยงจากปัญหาเหล่านี้ดังนั้นเราจำเป็นต้องใช้ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้ $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
การแปลงสมการทั้งหมดจะต้องย้อนกลับได้ ด้วย$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ สบายดี.
แต่รวมสองสมการไว้ในหนึ่งเดียว $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ ไม่ใช่.