สัญกรณ์คำสั่ง lemma ลำดับที่ 2 ของ Ito

Question

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับสัญกรณ์ที่นี่

ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดของศัพท์อิโตเรามีสิ่งนี้

$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$

ฉันรู้วิธีคำนวณ $ d\langle Y \rangle_t $ ระยะ แต่ฉันอยากจะถามเสมอ

• ชื่อศัพท์คืออะไรและมีความหมายว่าอย่างไร?
• เหตุใดจึงเขียนด้วยวิธีพิเศษเช่นนี้ แต่ไม่ได้ใช้ $ Cov() $, หรือ $ Var() $เหรอ?

สำหรับฉันในแนวคิดนั่นคือความแปรปรวนของกระบวนการ แต่ฉันไม่เข้าใจสัญกรณ์ ทำไมต้องตัวห้อย$ t $ จะถูกวางไว้นอกไฟล์ $ \langle \cdot \rangle $.

ฉันสามารถเขียนแบบด้านล่างนี้ได้หรือไม่?

$ \langle dY_t \rangle $

$ d \langle Y_t \rangle $

หากมีสองกระบวนการที่เกี่ยวข้องทำตามรูปแบบฉันเดาว่ามันควรจะเขียนแบบนี้ $ d\langle X, Y \rangle_t $แต่ฉันจะเขียนแบบนี้ด้านล่างได้ไหม

$ \langle dX_t, dY_t \rangle $

$ d\langle X_t, Y_t \rangle $

ฉันสามารถเขียนในรูปแบบอินทิกรัลได้หรือไม่ ฉันควรวางไฟล์$ t $ ถ้าฉันเขียนมันในรูปแบบอินทิกรัล?

ขอบคุณมาก

Answer 1

สัญกรณ์มือยาว / มือสั้น:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพบว่าสัญกรณ์มือสั้นสับสนอยู่เสมอและจนถึงทุกวันนี้พยายามหลีกเลี่ยงเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ ด้านล่างนี้ฉันจะพยายามแสดงให้เห็นว่าเหตุใดจึงเกิดความสับสนและนำไปสู่ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง

ในสัญกรณ์ "มือยาว" กระบวนการ Ito $X_t$ กำหนดไว้ดังนี้:

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$

ข้างบน, $a(X_t,t)$ และ $b(X_t,t)$ เป็นกระบวนการอินทิเกรตกำลังสอง

เป็นที่น่าสังเกตว่ารูปแบบกำลังสองของ$X_t$ จากนั้นจะเป็น:

$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$

(สิ่งนี้มาจากคำจำกัดความของรูปแบบกำลังสองสำหรับกระบวนการ Stochastic ดูแก้ไขที่ส่วนท้ายของโพสต์นี้)

ตอนนี้ในสัญกรณ์สั้น ๆ เราสามารถเขียนสมการสำหรับ $X_t$ ข้างต้นเป็น:

$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$

ประการแรกสัญกรณ์มือสั้นหมายถึงอะไร? เราสามารถกำหนด$\delta X_t$ ดังต่อไปนี้:

$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$

แล้ว $dX_t$ อาจจะ (โดยสัญชาตญาณไม่เข้มงวด) ตามแนวของ:

$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$

แต่ฉันคิดว่าเป็นการดีที่สุดที่จะเข้าใจสัญกรณ์แบบสั้นสำหรับสิ่งที่เป็นจริงนั่นคือคำสั่งสั้นสำหรับอินทิกรัลสุ่ม

Lemma ของ Ito:

ตอนนี้ Lemma ของ Ito ระบุว่าสำหรับกระบวนการ Ito ดังกล่าว $X_t$ฟังก์ชันที่แตกต่างกันสองครั้ง $F()$ ของ $X_t$ และ $t$ จะปฏิบัติตามสมการต่อไปนี้:

$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$

ด้านบนคุณสามารถระบุคำว่า " รูปแบบกำลังสอง ":

$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$

(ซึ่งในสัญกรณ์ "มือสั้น" สามารถเขียนเป็น $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$กล่าวคือเหมือนกับของคุณทุกประการ $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$ฉันเพิ่งใช้ $F$ แทน $f$ และ $X_t$ แทน $Y_t$: อีกครั้งฉันพบว่ามือสั้นใช้งานง่ายน้อยกว่าสัญกรณ์มือยาวแม้ว่าจะผ่านไปหลายปีกับกระบวนการของ Ito ก็ตาม)

ทำไมไม่ใช้สัญกรณ์มือสั้น

ตอนนี้ฉันอยากจะแสดงตัวอย่างว่าทำไมฉันคิดว่าสัญกรณ์มือสั้นอาจทำให้สับสนได้มาก: มาดูกระบวนการ Ornstein-Uhlenbeck กันเถอะ (ด้านล่าง $\mu$, $\theta$ และ $\sigma$ เป็นพารามิเตอร์คงที่):

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$

เรามี $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ และ $b(X_t,t) = \sigma$.

เคล็ดลับในการแก้ปัญหาข้างต้นคือการใช้คำศัพท์ของ Ito กับ $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, ซึ่งจะช่วยให้:

$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$

ตอนนี้เพื่อรับวิธีแก้ปัญหาสำหรับ $X_t$ขั้นตอนสุดท้ายคือการหารทั้งสองข้างด้วยกัน $e^{\theta t}$เพื่อแยกไฟล์ $X_t$ คำศัพท์เกี่ยวกับ LHS ซึ่งให้:

$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$

ฉันเคยเห็นหลายคนพยายามแก้ Ornstein-Uhlenbeck เขียนทุกอย่างโดยใช้สัญกรณ์ "มือสั้น" และในขั้นตอนสุดท้ายเมื่อเราหารด้วย $e^{\theta t}$ฉันเคยเห็นผู้คน "ยกเลิก" ข้อกำหนดที่ปกติจะเขียนเป็น $e^{\theta h}$ ภายในอินทิกรัล: เนื่องจากสัญกรณ์มือสั้นไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างตัวแปรดัมมี่อินทิเกรตคืออะไร (เช่น "$h$") และสิ่งที่รวมเข้ากับ"$t$".

สรุปได้ว่าฉันไม่แนะนำให้ใช้สัญกรณ์มือสั้นสำหรับ SDE และถ้าคุณเจอมันฉันขอแนะนำให้ "แปล" เป็นความหมายที่แท้จริง (เช่นสัญกรณ์ "มือยาว"): อย่างน้อยสำหรับฉัน ทำให้เข้าใจสิ่งต่างๆได้ง่ายขึ้นมาก

แก้ไขรูปแบบกำลังสอง : รูปแบบกำลังสองสำหรับกระบวนการ Stochastic ถูกกำหนดให้เป็นขีด จำกัด ในความน่าจะเป็นเนื่องจากขนาดของตาข่ายจะละเอียดและละเอียดขึ้นโดยเฉพาะสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนเราสามารถเขียนได้$\forall \epsilon > 0$:

$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

ได้แก่ ความน่าจะเป็นที่การแปรผันกำลังสองมาบรรจบกัน $t$ไปที่ 1 เมื่อขนาดตาข่ายปรับได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (การพิสูจน์ค่อนข้างเป็นเทคนิคดูตัวอย่างที่นี่ซึ่งดูเหมือนว่าจะพิสูจน์การลู่เข้าเกือบจะแน่นอน (ซึ่งหมายถึงการบรรจบกันในความน่าจะเป็น))

สังเกตว่าเราสามารถเขียน:

$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ และด้วยเหตุนี้จึงได้รับสูตรที่รู้จักกันดี:

$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$