เส้นใยที่มีจุดเดียวคือ isomorphic ตามข้อมูลจำเพาะของสนาม

Question

ปล่อย $R$ และ $T$เป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกภาพ ปล่อย$Q$ เป็นอุดมคติที่สำคัญของ $R$ และ $\phi:R \to T$. สมมติ $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$มีเพียงหนึ่งในอุดมคติที่สำคัญ จากนั้นฉันต้องการพิสูจน์ว่าแผนที่แนวตั้งทางด้านซ้ายมือของ \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
คือ isomorphism ฉันจะพิสูจน์เรื่องนี้ได้อย่างไร?

ฉันคิดว่าฉันสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้โดยแสดงสิ่งนั้นให้ $t \otimes r$, เรามี $t \otimes r = 1 \otimes s$ สำหรับบางคน $s \in R_Q/Q R_Q$แต่ดูเหมือนว่าจะใช้ได้ผลก็ต่อเมื่อ $t$ อยู่ในภาพของ $\phi$...

แก้ไข. คำถามตามที่ถามดูเหมือนจะไม่ถูกต้องดังที่เห็นในความคิดเห็น ฉันสามารถเพิ่มสมมติฐานอะไรเพื่อให้เป็นจริงได้ ฉันพยายามที่จะเข้าใจรายละเอียดของการพิสูจน์ใน Mumford ใยของ$f$ เกิน $y$ คือ $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ ให้ $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. ขอบคุณ

Answer 1

เลม: ปล่อย $f:X\rightarrow Y$เป็นรูปแบบของแผนการ แล้ว$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ เป็นชุดที่ $\kappa (p)$ คือช่องสารตกค้างที่ $p\in Y$.

หลักฐาน: สมมติ $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ มีความสัมพันธ์และ $p\in \operatorname{Spec} B$. ชุด$S=B\backslash p$. จากนั้นเรามีการติดต่อ 1-1 ต่อไปนี้ $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

ตอนนี้คุณใช้อาร์กิวเมนต์การแพทช์เพื่อทำการพิสูจน์

คุณจะถามว่าเมื่อไหร่ $\frac{A_p }{pA_p}$ เป็นฟิลด์สมมติ $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$เป็นซิงเกิลตัน ปล่อย$P\in \operatorname {Spec} {A}$ เป็นอุดมคติที่ไม่เหมือนใคร $P\cap B\backslash p =\phi $ และ $P\supset pA$. แล้ว$\frac{A_p }{pA_p}$ เป็นฟิลด์ iff $pA_p =PA_p$กล่าวคืออุดมคติสูงสุดของ $\mathcal O_{Y,p}$ สร้างอุดมคติสูงสุดของ $\mathcal O_{X,P}$ ซึ่งเป็นสิ่งที่ได้รับอย่างแม่นยำในคำถามที่คุณเชื่อมโยง