สงสัยในการคำนวณความน่าจะเป็น
X และ Y เป็นผู้เล่นหมากรุกสองคน:
- ความน่าจะเป็นที่ X จะชนะเกมใดเกมหนึ่งกับ Y คือ $1/3$ และความน่าจะเป็นที่ Y จะชนะเกมคือ $2/3$.
- พวกเขาเล่นเกมหลายเกมที่กฎเช่น X ชนะสองเกมติดต่อกันจากนั้น X ชนะซีรีส์และ Y ชนะซีรีส์คือเมื่อชนะ $4$ เกมติดต่อกัน
- พวกเขาเริ่มเกมและเล่นจนกว่าหนึ่งในนั้นจะชนะซีรีส์
การปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ความน่าจะเป็นที่ Y จะชนะซีรีส์คืออะไร
ฉันคำนวณความน่าจะเป็นโดยพิจารณา $4/5/6$ เกมทั้งหมดทีละเกม แต่ไม่พบรูปแบบใด ๆ ที่ฉันสามารถสรุปได้ $n$ จำนวนเกมและแนวโน้ม $n$ ไม่มีที่สิ้นสุด$\ldots$ นั่นเป็นแนวทางพื้นฐานของฉันในปัญหาดังกล่าว แต่ไม่สามารถทำได้ที่นี่$\ldots$
คำตอบ
สถานะที่ไม่ใช่เทอร์มินัลคือ $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$ที่ชื่อ $w$เป็นการแสดงออกถึงการชนะครั้งสุดท้ายที่เกี่ยวข้อง สำหรับแต่ละรัฐเหล่านี้$w$ เรามีความน่าจะเป็น $p_w$ ที่ $Y$ชนะซีรีส์ สำหรับความน่าจะเป็นเหล่านี้เรามีสมการดังต่อไปนี้:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ เช่นเมื่อเราอยู่ในสถานะ $YY$, ผู้เล่น $Y$ชนะซีรีส์ด้วยความน่าจะเป็น$p_{YY}$. ในเกมถัดไป$Y$ ชนะด้วยความน่าจะเป็น ${2\over3}$ แล้วเราก็อยู่ในสถานะ $YYY$และ $Y$ สูญเสียด้วยความน่าจะเป็น ${1\over3}$และจากนั้นเราก็อยู่ในสถานะ $X$. ด้วยวิธีนี้เราจะได้สมการ$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.
การแก้ระบบนี้ให้ความน่าจะเป็นเบื้องต้น $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$