สร้างเมทริกซ์ $M(c)=N(c)-L(c)$ บวกแน่นอนโดยเลือกสเกลาร์ $c$, ที่ไหน $N(c)$ เป็นบวกกึ่งแน่นอน
ปล่อย $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ ด้วย $n>m$ และ $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ ด้วย $n>k$ ดังนั้น $P^T P = I_m$ และ $Q^T Q = I_k$. นอกจากนี้สมมติว่า$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. จากนั้นพิสูจน์การอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้:
มีอยู่ $c>1$ ดังนั้นเมทริกซ์ $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$เป็นบวกแน่นอน (นั่นคือ,$v^T M v > 0$ เพื่อทุกสิ่ง $v\in\mathbb{R}^n$ ดังนั้น $v\neq 0$ หรือค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของ $M$ อยู่ในระนาบซับซ้อนครึ่งขวาเปิด)
คำกล่าวอ้างข้างต้นเป็นจริงหรือเท็จ? ถ้าจริงจะพิสูจน์ได้อย่างไร?
หมายเหตุ 1.เมทริกซ์$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ เป็นค่ากึ่งบวกสำหรับทุกคน $c$ เพราะมันอยู่ในรูปแบบของ $H^T H$.
หมายเหตุ 2.เมทริกซ์$(I_n - cQQ^T)$ เป็นบวกกึ่งแน่นอนสำหรับ $c=1$ และแน่นอนในเชิงบวกสำหรับ $0\leq c <1$. แต่เนื่องจากเราพิจารณา$c>1$มันออกมาเป็นเมทริกซ์ที่ไม่แน่นอนซึ่งหมายความว่ามันมีค่าลักษณะเฉพาะเชิงบวกและเชิงลบ
คำตอบ
ปล่อย $P=w=Q$ ด้วย $\|w\|=1$, $c>1$และปล่อยให้ $v\cdot w=0$, $v\ne0$. แล้ว$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$
โดยทั่วไปถ้า $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$แล้ว $v^TMv\le0$.
ตอบคำถามที่แก้ไขด้วย $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.
ปล่อย $m=1$, $n>2$, ปล่อย $P=w$ ด้วย $\|w\|=1$; ปล่อย$Q$ เป็นเช่นนั้น $Q^Tw=0$. จากนั้นก็เช่นเดิม$Mw=0$.