ตัวทำลายสองมิติของสเปซย่อยของพื้นที่เวกเตอร์มิติคู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

Question

ปล่อย $V$เป็นพื้นที่เวกเตอร์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดและ$V^*$มันเป็นคู่
สำหรับพื้นที่ย่อยเชิงเส้น$W\subset V$ กำหนด $W^ \circ\subset V^*$ เป็นพื้นที่ย่อยของรูปแบบเชิงเส้นบน $V$ หายไปเมื่อ $W$.
Dually สำหรับ$\Gamma\subset V^*$ กำหนด $\Gamma^\diamond \subset V$ เป็นเซตของเวกเตอร์ $v\in V$ ดังนั้น $\gamma(v)=0$ สำหรับรูปแบบเชิงเส้นทั้งหมด $\gamma\in \Gamma$.
เป็นเรื่องที่น่าแปลกใจเล็กน้อย แต่ก็ไม่ยากเกินไปที่จะแสดงให้เห็นว่าเรามีสำหรับพื้นที่ย่อยทั้งหมด$W\subset V$ ความเท่าเทียมกัน $(W^\circ) ^\diamond=W$.
แต่มันเป็นความจริงสำหรับทุกคน$\Gamma\subset V^*$ เรามี $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$เหรอ?
และมีการอ้างอิง (บทความหนังสือเอกสารประกอบการบรรยาย ... ) ที่กล่าวถึงปัญหานี้หรือไม่?

Answer 1

ไม่ $(\Gamma^\diamond)^\circ$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันเสมอไป $\Gamma$. ปล่อย$\mathcal B$ เป็นพื้นฐานสำหรับ $V$และปล่อยให้ $\Gamma$ เป็นช่วงของชุด 'คู่' $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$ดังนั้น $e_b(c)$คือวงเล็บ Iverson $[b = c]$ สำหรับทุกอย่าง $b, c \in \mathcal B$. แล้ว$\Gamma^\diamond$ คือ $0$ดังนั้น $(\Gamma^\diamond)^\circ$ เป็นทั้งหมดของ $V^*$; แต่$\Gamma$ ตัวเองไม่มีเช่นองค์ประกอบ $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ ของ $V^*$.

Answer 2

ความเท่าเทียมกันเป็นเท็จโดยทั่วไป
นี่คือตัวอย่างการตอบโต้: แก้ไขพื้นฐาน$v_i, i\in I$ ของ $V$ และพิจารณาชุดของรูปแบบเชิงเส้นพิกัด $v^*_i, i\in I$.
รูปแบบเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น แต่ไม่เคยเป็นพื้นฐานมาก่อน$V$เป็นมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด
กรอกแบบฟอร์มเหล่านี้ให้ครบถ้วน$(v^*_j), j\in J$ ด้วย $J\setminus I\neq\emptyset$.
เลือก$l\in J\setminus I$ และใส่ $J'=J\setminus \{l\}$
ถ้าคุณกำหนด $\Gamma \subset V^*$ เป็นพื้นที่เวกเตอร์ที่สร้างโดย $v_j^*, j\in J'$แล้ว $\Gamma^\diamond =0$ (เนื่องจากเป็นพื้นที่ย่อยของ $V^*$ สร้างโดยไฟล์ $v_i^*, i\in I$ ฆ่าเวกเตอร์ทั้งหมดใน $V$) ดังนั้น $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ การยอมตามตัวอย่างที่จำเป็น