ตัวเลขจาก $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ เขียนและสอง $x,y$ ถูกนำมาและเราแทนที่ $x,y$ โดยเพียง $x+y+xy$

Question

นี่เป็นคำถามที่ดีจริงๆ! (ทุกคนเคยเจอคำถามที่ทำให้พวกเขารักคณิตศาสตร์นี่คือของฉัน :)

เราเขียนชุดของตัวเลข $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

ตอนนี้เราสามารถเลือกตัวเลขสองตัวใดก็ได้ $x$ และ $y$ และเราแทนที่สองจำนวนนี้ด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว $x+y+xy$

กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าจะเหลือเพียงหนึ่งหมายเลขให้ค้นหาหมายเลขสุดท้าย

แค่นี้ก็ทำให้ฉันงง! ไม่มีความคิดที่จะดำเนินการต่ออย่างจริงจัง มันไม่น่าสนใจที่เราจะลงเอยด้วยหมายเลขเดียวกันทั้งๆที่เราเริ่มต้นที่ไหน? ยินดีต้อนรับคำแนะนำทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา

Answer 1

นี่เป็นคำถามที่ไม่แปรเปลี่ยน: ลองนึกภาพฟังก์ชัน $f(x_1,...,x_m)$ (ที่ไหน $m$ คืออาร์กิวเมนต์จำนวนหนึ่งและ $x_i$ เป็นจำนวนจริงทั้งหมด) โดยมีคุณสมบัติดังนี้ $f(x_1,...,x_m)$ จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคุณใช้สองสิ่งนี้ $x_i,x_j$ และแทนที่ด้วยเพียง $x_i+x_j+x_ix_j$.

แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? หากมีเพียงตัวเลขเดียว$N$ บนกระดานทิ้งไว้หลังจากนั้น $f(x_1,...,x_m) = f(N)$ดังนั้น $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ โดยมีเงื่อนไขว่า $f(x_1,...,x_m)$ มี preimage เพียงภาพเดียว

คำแนะนำสำหรับฟังก์ชันนี้ $f$ มาจาก $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$ดังนั้นสิ่งที่ต้องการ: เพิ่ม $1$ กับตัวเลขทั้งหมดที่คุณมีแล้วคูณผลลัพธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน?

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นดังกล่าวได้ผล! ในกรณีนี้เราต้องเพิ่ม$1$กับตัวเลขแต่ละตัวแล้วคูณทั้งหมด นั่นเหมือนกับการคูณ$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$ซึ่งเป็นเพียง $2011$.

ตอนนี้เลขสุดท้ายบนกระดานคือหนึ่งบวกนั่นคือ $2011$ดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้น $2010$.

Answer 2

การดำเนินการ $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ บนจำนวนจริงนั้นเชื่อมโยงกันดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของขั้นตอนและเท่ากับ $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

Answer 3

สมมติว่าคุณเลือก $\frac1m$ และ $\frac1n$ ในเทิร์นแรกให้แทนที่ด้วย $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(สังเกตว่า $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

ในทางกลับกันคุณอาจเลือกสองหมายเลข $\frac1a$ และ $\frac1b$และหมายเลขที่ถูกแทนที่จะมีลักษณะเช่นเดียวกับด้านบนด้วย $a,b$ แทนที่ $m,n$. อย่างไรก็ตามหากคุณเลือกหมายเลขใหม่ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าเช่น$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ และหนึ่งในตัวเลขเดิม $\frac1a$จากนั้นคุณแทนที่ด้วย $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

กรอกขั้นตอนกลางเพื่อแสดงโดยการเหนี่ยวนำว่าตัวเลขที่ถูกแทนที่ในขั้นตอนใด ๆ จะมีลักษณะอย่างไร $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$เพื่อที่คำตอบสุดท้ายจะเป็น $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.