ตัวอย่างแรกสุดของการวิเคราะห์ต่อเนื่องมีอะไรบ้าง
ฉันสงสัยว่า Riemann รู้ได้อย่างไร $\zeta(z)$สามารถขยายไปยังโดเมนที่ใหญ่ขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งใครเป็นคนแรกที่ขยายขอบเขตของฟังก์ชันที่มีมูลค่าเชิงซ้อนอย่างชัดเจนและฟังก์ชันนี้คืออะไร
คำตอบ
(ขยาย 1/26/21
ก่อนอื่นให้ฉันชี้ให้เห็นสำหรับผู้ที่ไม่ใช่เจ้าของภาษาอังกฤษว่าการใช้บทความ 'a' ในวลี 'a complex-valueed function' หมายความว่าคำถามไม่ได้อ้างอิงถึง Riemann หรือฟังก์ชัน zeta อื่น ๆ แต่เพียงอย่างเดียว มันรวมถึงฟังก์ชันใด ๆที่มีโดเมนเป็นชุดของจำนวนจริงดังนั้นฉันจึงตีความคำถามนี้ว่า "ใครเป็นคนแรกที่เผยแพร่ส่วนขยายของโดเมนของฟังก์ชันที่สำคัญจากชุดค่าจริงบางส่วนไปยังโดเมนต่อเนื่องบางส่วนของคอมเพล็กซ์ แล้วหน้าที่นั้นคืออะไร " สำหรับฉันแล้วความหมายที่แท้จริงของคำว่าการวิเคราะห์ต่อเนื่องและไม่ซ้ำกันหรือไม่เป็นคำถามที่แตกต่างกัน
ประโยคแรกและความคิดเห็นหลายส่วนเน้นไปที่ฟังก์ชัน Riemann zeta Riemann ไม่ได้ยืนอยู่คนเดียวและความสนใจของเขากว้างกว่าที่บางครั้งเกือบจะมุ่งเน้นไปที่ RH ในปัจจุบันอาจบ่งบอกได้ ความสนใจของเขาครอบคลุมการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนทั้งหมดดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่เขาจะพิจารณาการขยายฟังก์ชันจริงไปสู่ฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ยากที่จะเชื่อ (ความลำเอียงของภูมิภาคบางประเภท) ที่ไม่มีนักคณิตศาสตร์มาก่อนออยเลอร์ตื่นขึ้นมาในเช้าวันหนึ่งและคิดว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันแก้ไขสูตรที่แท้จริงของฉัน โรเจอร์โคตส์ถูกกำหนดให้ทำเช่นนั้นอย่างมีความหมายด้วยความสนใจในดาราศาสตร์และกลศาสตร์บนท้องฟ้า ความคุ้นเคยกับงานของนิวตันเพื่อนร่วมงานของเขาเกี่ยวกับอนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติการผกผันแคลคูลัสและกลศาสตร์ของนิวตัน การใช้ตารางลอการิทึมที่ Napier นำมาใช้ในช่วงต้นทศวรรษ 1600 เพื่อจัดการกับการคำนวณที่มีจำนวนมากที่พบในการสำรวจโลกและท้องฟ้า และทำงานเกี่ยวกับการแก้ไข (Cotes 'และ Newton's)
ให้ฉันเน้นย้ำอีกครั้งว่า Cotes คุ้นเคยกับอนุกรมกำลังผกผันขององค์ประกอบของนิวตัน (สูตรหนึ่งรวมถึงสูตรการผกผันของ Lagrange ที่เชื่อมโยงกันสำหรับอนุกรมที่เป็นทางการดู Ferraro ด้านล่าง) รวมถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังและตามที่ระบุไว้โดย Griffiths ' แสดงความคิดเห็นต่อโพสต์ " การสร้างลอการิทึม " โดย Freiberger: หากไม่มีตารางลอการิทึมเหล่านี้จะไม่มีทฤษฎีใดจาก Nicholas Mercator ของพื้นที่ภายใต้ไฮเพอร์โบลาสมมาตรที่เท่ากับบันทึกของระยะทางตามแกน x หรือการกลับตัวของ Isaac Newton ของสูตรไฮเพอร์โบลาเพื่อให้ได้อนุกรมอนันต์สำหรับแอนทิลโอการิ ธ ม์ $e^x$. (แผนที่ Mercator เริ่มเห็นจุดหรือไม่) อันที่จริงเฟอร์ราโรกล่าวถึงในหน้า 74 และ 75 ของ "การเพิ่มขึ้นและการพัฒนาของทฤษฎีอนุกรมจนถึงต้นทศวรรษ 1820" วิธีที่นิวตันพลิกกลับอนุกรมกำลังสำหรับลอการิทึม$-\ln(1-x)$ เพื่อให้ได้ชุดพลังงานของ antilogarithm $1- e^{-x}$. (นิวตันที่มีความเชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตและการวิเคราะห์ที่ยอดเยี่ยมก็คงจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันอย่างง่ายที่นี่ระหว่างอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งสองเช่นกัน)
ดังนั้นจึงดูเหมือนเป็นธรรมชาติที่การกำเนิดของแคลคูลัสและการเชื่อมโยงกับอนุกรมกำลังและการผกผันขององค์ประกอบ Cotes เขียนไว้ในปี 1714 เมื่อออยเลอร์อายุได้เจ็ดขวบ
$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$
รุ่นตั้งไข่ของสูตรที่ยอดเยี่ยมของออยเลอร์ในปี 1748 (อ้างอิงWikipedia )
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$
การตรวจสอบที่ชัดเจนด้วยอนุพันธ์ (หรือฟลักซ์) จะตรวจสอบสูตรโดยไม่ต้องใช้เลขชี้กำลังอย่างชัดเจน
$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$
ซึ่งฉันแน่ใจว่าเป็น SOP สำหรับ Newton และ Cotes - การประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันในกรณีนี้ $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$ซึ่งทำให้สูตรชัดเจน
ใน "ประวัติความเป็นมาของแนวคิดเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม" Cajori อธิบายว่า John Bernoulli พิจารณาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เปลี่ยนจากค่าเรียลเป็นจินตภาพในปี 1702 ได้อย่างไรและให้ Cotes มาจากสูตรของเขาซึ่ง Cotes ตีพิมพ์ในปี 1714 และ 1722 Cajori ยังอ้างว่าต่อมาออยเลอร์ไม่อายที่จะใช้ตัวเลขจินตภาพ
สูตรของออยเลอร์ตามที่เขียนในวันนี้ต้องรอการพัฒนาโดยออยเลอร์และเพื่อนร่วมงานของตัวแทนสัญลักษณ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $\exp(z) = e^z$ ด้วย $e$เป็นค่าคงที่ของออยเลอร์บางครั้งเรียกว่าค่าคงที่ของ Napier เนื่องจากเกิดขึ้นในตารางบันทึกของ Napier หลังจากที่ Huygens และคนอื่น ๆ ได้สำรวจแคลคูลัสที่เป็นรากฐานของการบันทึกจำนวนมากแล้ว บางครั้งฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกเรียกว่า 'antilogarithm' ซึ่งสะท้อนถึงลำดับความสำคัญของบันทึกดังที่ระบุไว้ในโพสต์บันทึก
สูตรลอการิทึมของ Cote เป็นส่วนขยายจากจำนวนจริงที่เป็นบวกไปยังขอบเขตของจำนวนเชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมด้วยวิธีที่ค่อนข้างยากกว่าการแทนที่ $n$ ในชุดตัวแทนของ $\zeta(n)$ โดยจำนวนจริงบนเส้นจริงจากนั้นไปยังจำนวนอื่น ๆ ในระนาบเชิงซ้อน
จากบทความของ Wikipedia เรื่อง Cotes เขาได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับรากเหง้าของเอกภาพ (และให้ค่าหนึ่งเรเดียนเป็นครั้งแรก) ในปี 1722 ใน "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(ทฤษฎีบท, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติบางอย่างซึ่งทำให้เกิดการไหลของฟลักซ์ที่กำหนดโดยวิธีการวัดที่พัฒนาต่อไป) เขาเข้าใจเรื่องตรีโกณค่อนข้างดีและจากมุมมองนี้ทั้งสูตรของ Cotes และออยเลอร์ถือได้ว่าเป็นความต่อเนื่องของการแก้ปัญหาของ$|x| = 1$เข้าไปในระนาบที่ซับซ้อน โซลูชันกำหนดฟังก์ชันที่เรียบง่ายมากด้วยโดเมน 1 และ -1 และช่วง 1 ซึ่งจะดำเนินการต่อในเชิงวิเคราะห์เป็นวงกลมรัศมี 1 ในโดเมนที่ซับซ้อนซึ่งเป็นประเภทของการแก้ไข (วางเมาส์เหนือลิงก์แก้ไขใน Wiki บนRoger Cotes ) ตอบสนองสมการเชิงฟังก์ชันอย่างง่าย$|f(x)|=1$. (ตัวอย่างอื่น ๆ ของประเภทของการแก้ไข / วิเคราะห์ความต่อเนื่องจากฟังก์ชันที่มีโดเมนจำนวนเต็มไม่ต่อเนื่องไปยังโดเมนที่ซับซ้อนต่อเนื่อง (เกี่ยวข้องกับการแก้ไขอนุกรมนิวตันและซิน / คาร์ดินัล) มีให้ในMO-Qนี้และMSE-Qนี้)
จากมุมมองที่กว้างขึ้นสูตรบันทึกของ Cotes เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของการวิเคราะห์ความต่อเนื่องของบันทึกเป็นการจับคู่จากจำนวนจริงไปยังของจริงไปจนถึงการแมปของคอมเพล็กซ์ไปยังคอมเพล็กซ์ แน่นอนว่าโคตส์ตระหนักดีว่า (ใช้ประโยชน์ได้จริงและจะถือว่าใครก็ตามที่คุ้นเคยกับบันทึกก็รู้เช่นกัน) สำหรับ$u,v > 0$,
$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$
ดังนั้นเขาจึงเขียนส่วนที่ยากที่สุดของความต่อเนื่องในการวิเคราะห์ของบันทึกจากจำนวนจริงที่เป็นบวกไปยังค่าที่ซับซ้อน (แม้ว่าจะไม่ได้ระบุถึงความหลายหลากอย่างชัดเจน )
$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$
refs ในวิกิพีเดีย: จอห์นเนเปียร์ , ประวัติของลอการิทึม , ลอการิทึม , โรเจอร์ Cotes , เอกลักษณ์ของออยเลอร์ , สูตรออยเลอร์
นอกเหนือจากการรวมออยเลอร์ที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนแล้วออยเลอร์ยังเป็นคนแรกที่ขยายแฟกทอเรียลไปยังฟังก์ชันแกมมาสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนเพื่อพัฒนาแคลคูลัสเศษส่วนด้วยการแทนที่อินทิกรัล Mellin-Laplace ไฮบริดของเขาสำหรับฟังก์ชันแกมมา (ดู " มรดกของออยเลอร์สู่ฟิสิกส์สมัยใหม่ "โดย Dattoli และ Del Franco และ MSE-Q ที่ระบุไว้ข้างต้น) อินทิกรัลของออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันเบต้าอนุญาตให้เหมือนกันสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามทั่วไปซึ่งนิวตัน (อีกครั้งเพื่อนร่วมงานของโคตส์) ได้ทำเพื่อขยายไปยังจำนวนจริงของสัมประสิทธิ์ทวินามจำนวนเต็ม น่าเสียดายที่ออยเลอร์ไม่เข้าใจส่วนขยายของจำนวนเชิงซ้อน (Argand และ Wessel มาในภายหลัง) ไม่เช่นนั้นเขาจะต้องใช้ Cauchy, Liouville และ Riemann เกี่ยวกับแคลคูลัสของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
สำหรับประวัติก่อนประวัติศาสตร์ของฟังก์ชัน Riemann zeta โปรดดู " Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz " โดย Oswald และ Steuding ผู้เขียนไม่ได้บอกว่า 's` เป็นเรื่องจริงหรือซับซ้อนในการอภิปรายเกี่ยวกับดึกดำบรรพ์ของซีตา มันคงเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับออยเลอร์และคนอื่น ๆ ก่อนที่ Riemann จะพิจารณา$s$ซับซ้อน ออยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับพลังของ pi สำหรับอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็มของซีต้าที่จะแนะนำการเชื่อมต่อกับคอมเพล็กซ์ผ่านทั้งสูตรที่ยอดเยี่ยมของเขาและสูตรการสะท้อนของเขาสำหรับฟังก์ชันแกมมา แต่แล้วเขาก็ไม่มีอะไรให้ทำความเข้าใจจากมุมมองนี้ได้มากนักหากไม่มี Riemann's เมลลินเปลี่ยนตัวแทน โดยที่ Riemann เป็นคนแรกที่ยั่วยวนคุณสมบัติใหม่ของซีตาโดยใช้สูตรการสะท้อนของออยเลอร์เพื่อให้ความต่อเนื่องของซีตาของ Hankel จากระนาบครึ่งขวาไปยังระนาบเชิงซ้อนเต็มรูปแบบและพัฒนาอัลกอริทึมที่ชาญฉลาดเพื่อกำหนดสิ่งที่ไม่ใช่ - ศูนย์ที่ไม่สำคัญท่ามกลางการพัฒนาอื่น ๆ
ปลาเฮอริ่งสีแดงดูเหมือนจะเป็นความพยายามในการมองเห็นระยะสั้นในการบังคับให้มีการแบ่งขั้วเทียมระหว่างการแก้ไขและการวิเคราะห์อย่างต่อเนื่อง ฉันใช้ความสนใจและทักษะของ Cotes (และของนิวตัน) ในการสอดแทรกในขอบเขตที่แท้จริง (เกี่ยวข้องกับการประมาณวงโคจรบนท้องฟ้า) เพื่อบ่งชี้ว่าเขามีแนวโน้มที่จะทำการวิเคราะห์ต่อเนื่อง นอกจากนี้ยังไม่มีการแบ่งขั้ว ในคำถามเกี่ยวกับ MO และ MSE หลาย ๆ คำถามฉันแสดงให้เห็นว่าการแก้ไขเกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องในการวิเคราะห์ของแฟกทอเรียลกับฟังก์ชันแกมมาตัวเลขเบอร์นูลลีไปยังรีมันน์ซีตาพหุนามเบอร์นูลลีถึงเฮอร์วิตซ์ซีตาและแคลคูลัสคลาสสิกของกำลังจำนวนเต็มของอนุพันธ์ เลือกใช้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่ซับซ้อนท่ามกลางการแก้ไข / ACs อื่น ๆ (เช่นเริ่มต้นที่MO-Qนี้หรือMO-Q นี้ ) สิ่งเหล่านี้สามารถเกี่ยวข้องกับการแก้ไขฟังก์ชัน sinc / อนุกรมคาร์ดินัลการแก้ไขการขยายทวินามและ / หรือการแก้ไขนิวตันและอื่น ๆ (เช่นMO-Q นี้ ) ความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนกว่านั้นเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของมาห์เลอร์และการอ้างอิงในคำตอบของMO-Qนี้ แง่มุมหนึ่งของของขวัญของ Riemann คือความเข้าใจของเขาว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการแปลงร่างของ Mellin อย่างไร
(สำหรับอคติการช่วยการเข้าถึงโปรดดู Khaneman และ Tversky)