ทำชุดที่นับซ้ำได้แบบครอบคลุมสำหรับ $\mathbb{N}$เหรอ? ถ้าใช่เงื่อนไขความอิ่มตัวเพิ่มเติมใดที่เป็นไปตามเงื่อนไข

Aug 17 2020

ชุดที่นับซ้ำได้คือชุดย่อยของ $\mathbb{N}$ความหมายซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีและสามารถพบได้ในวิกิพีเดียที่นี่ เมื่อวานนี้ฉันบังเอิญไปเจอคำจำกัดความของ "Generalized Topological Spaces" ที่นี่ (คำจำกัดความ 2.2.1) (ต่อจากนี้ไปจะเรียกว่า GTS) คำจำกัดความนั้นกว้างขวางและฉันขอให้ผู้อ่านตรวจสอบลิงก์ แต่เพื่อประโยชน์ของข้อความคำถาม สาม$(X, Op_X, Cov_X)$พร้อมชุด $X$คอลเลกชันของชุดเปิด $Op_X\in 2^X$และการปกปิดที่ยอมรับได้ $Cov_X\in 2^{2^X}$ (อันสุดท้ายนี้ทำให้ GTS แตกต่างจากโทโพโลยีปกติสหภาพแรงงานไม่ได้กำหนดโดยพลการ แต่ถูก จำกัด ไว้ที่ $Cov_X$) สร้าง GTS หากทั้งสามเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการ A1 ถึง A8

จากนั้นเราสามารถตรวจสอบว่าสาม $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ สร้างช่องว่างดังกล่าว (โดยที่ $RE$ คือชุดของชุดที่นับซ้ำและ $Cov_{RE}$ คือชุดของคอลเลกชัน $C$ ของ $RE$ องค์ประกอบดังกล่าว $C$เป็นตัวนับซ้ำได้ [1]) ปรากฎว่าไม่: เงื่อนไข A7 และ A8 (ความอิ่มตัว [2] และสัจพจน์สม่ำเสมอ) ล้มเหลวสำหรับสามสิ่งนี้

ขั้นตอนต่อไปคือการพิจารณาว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเราเพิกเฉยต่อเงื่อนไขที่กล่าวว่าล้มเหลวหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเพื่อสรุป GTS ให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ข้อความเดียวกับที่นำเสนอคำจำกัดความของ GTS อธิบายว่าคำจำกัดความดังกล่าวเกี่ยวข้องกับโทโพโลยี Grothendieck แต่ที่นี่เราประสบปัญหา ในขณะที่คำจำกัดความของ GTS ได้รับการอธิบายด้วยภาษาชุดทฤษฎีแบบธรรมดา แต่โทโพโลยีของ Grothendieck นั้นเท่าที่ฉันสามารถบอกได้คือแนวคิดที่ฝังรากลึกในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งภาษาที่ฉันยังไม่เข้าใจ อย่างไรก็ตามหนึ่งสามารถนำทางncatlabและการเข้าถึงความหมายของเว็บไซต์ที่นี่ซึ่งเป็นหมวดหมู่พร้อมกับความคุ้มครองบางสิ่งบางอย่างที่กำหนดไว้ที่นี่ ความเข้าใจของฉันคือความครอบคลุมเป็นคำจำกัดความทั่วไปที่สุดในบริบทนี้และสิ่งนั้นได้รับโทโพโลยี Grothendieck (ก่อน) โดยกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับความครอบคลุม (ฉันไม่แน่ใจว่า GTS ตรงไหนพอดีกับทั้งหมดนี้ แต่ฉันเชื่อว่าไซต์ต่างๆ ลักษณะทั่วไปของ GTS)

คำถามจริงที่ฉันถามนี้แบ่งออกเป็นหลายส่วน:

  1. ฉันเข้าใจถูกไหมว่าเว็บไซต์คืออะไร? นั่นคือถ้าเรา "ยกเลิกการจัดหมวดหมู่" คำจำกัดความของไซต์ (และความครอบคลุมด้วยเช่นกัน) เราจะลงเอยด้วยคำจำกัดความของ GTS ยกเว้นมีเงื่อนไขน้อยกว่าหรือไม่?
  2. ถ้าเป็นเช่นนั้นสาม $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$สร้างเว็บไซต์? นั่นคือคือ$Cov_{RE}$ ความคุ้มครองสำหรับ $\mathbb{N}$เหรอ? ตัวอย่างเช่น "มีเสถียรภาพภายใต้การดึงกลับ" หรือไม่ (หมายความว่าอย่างไร!)
  3. หากเป็นจริงเช่นกัน "เงื่อนไขความอิ่มตัว" เพิ่มเติมใด (ดูที่นี่ ) จะทำ$Cov_{RE}$พอใจ? ฉันคิดว่ามันไม่เพียงพอที่จะเป็นโทโพโลยี Grothendieck ที่เหมาะสม แต่อาจเพียงพอสำหรับ pretopology หรือไม่?

[1] - มีการใช้ภาษาในทางที่ผิดเล็กน้อยเมื่อมีการกล่าวว่า "$C$ จะนับซ้ำได้ "(ใครจะคาดหวัง $C\in RE$ จากประโยคนี้เพียงอย่างเดียว แต่จริงๆแล้ว $C\in 2^{RE}$ในกรณีเฉพาะนี้); สำหรับผู้ที่ไม่สบายใจด้วยวิธีที่เทียบเท่าในการกำหนด$Cov_{RE}$มีดังนี้ ขั้นแรกให้แก้ไข$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$การแจงนับที่คำนวณได้ของ RE เอง แล้ว$Cov_{RE}$ คือ $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$นั่นคือคอลเลกชัน $C$ ขององค์ประกอบ RE เป็นของ $Cov_{RE}$ iff มีอยู่ $S\in RE$ เพื่อให้สามารถทำแผนที่ได้ $\phi$ เกิน $S$ และรับ $C$ ดังผลลัพท์.

[2] - โปรดทราบว่า "สัจพจน์ความอิ่มตัว" ในที่นี้เป็นค่าเฉพาะสำหรับ GTS คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีหมวดหมู่เพิ่มเติมในคำถามนั้นมีเงื่อนไขความอิ่มตัวของตัวเองหลายเงื่อนไข

คำตอบ

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 07:29

สมมติว่าเรากำลังจัดการกับชุดที่สั่งบางส่วนโดยพลการ $(P, \leq)$. ในกรณีเฉพาะของช่องว่างโทโพโลยี$P$ คือชุดย่อยบางส่วนของ $X$ช่องว่างพื้นฐาน เราสามารถพิจารณา$P$ เป็นหมวดหมู่ในรูปแบบบัญญัติดังนี้ชุดของวัตถุคือ $P$มีลูกศรมากที่สุดหนึ่งลูกระหว่างแต่ละอัน $x, y \in P$และมีลูกศรอยู่ระหว่าง $x$ และ $y$ iff $x \leq y$.

ตะแกรงบนวัตถุ $x$ สามารถกำหนดเป็นคอลเลกชัน $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ ซึ่งตอบสนองคุณสมบัติที่สำหรับทุกๆ $(f, z) \in S$ และทุกๆ $g : w \to z$, เรามี $(f \circ g, w) \in S$.

เมื่อเรากำลังพูดถึงชุดที่สั่งซื้อบางส่วนส่วนประกอบแรกของ $(f, z)$ ที่ไหน $f : z \to x$ ไม่เพิ่มข้อมูลใด ๆ (นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่า $z \leq x$) เนื่องจากมีมากที่สุด $f : z \to x$. ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาตะแกรงได้$S$ บน $x$ เพื่อเป็นของสะสม $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ เซนต์สำหรับทุกคน $z \in S$, เพื่อทุกสิ่ง $w \leq z$, $w \in S$. นี่คือสิ่งที่ฉันจะเรียกว่า PO-sieve

รับตะแกรง $S$ บน $y$ และลูกศร $f : x \to y$เราอาจกำหนดไฟล์ $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ และ $f \circ g \in S\}$ตะแกรงบน $y$.

ตามลำดับให้ PO-sieve $S$ บน $y$ และบางส่วน $x \leq y$เราอาจกำหนด $S_x = \{z : z \leq x$ และ $z \in S\}$ตะแกรงบน $x$.

โครงสร้างแบบ Grothendieck ในหมวดหมู่ $C$ คือการทำแผนที่จากแต่ละวัตถุ $x \in C$ กับครอบครัว $F_x$ ของตะแกรงบน $x$ ซึ่งตรงตามสัจพจน์หลายประการ

ตามลำดับ PO-Grothendieck Topology บน poset $P$ ต้องเป็นการแมปจากแต่ละองค์ประกอบ $x \in P$ กับครอบครัว $F_x$ ของ PO-sieves ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ที่เกี่ยวข้อง

สัจพจน์ 1 ของ Grothendieck Topology: สำหรับทุกๆ $x \in C$, เรามี $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.

Axiom 1 ที่สอดคล้องกันของ PO-Grothendieck Topology: สำหรับทุกๆ $x \in P$, เรามี $\{z : z \leq x\} \in F_x$.

Axiom 2 ของ Grothendieck Topology: สำหรับทุกๆ $f : x \to y$สำหรับทุกตะแกรง $S \in F_y$, เรามี $f^*(S) \in F_x$.

Axiom 2 ที่สอดคล้องกันของ PO-Grothendieck Topology: สำหรับทุกๆ $x \leq y$ และสำหรับทุก PO-sieve $S \in F_y$, เรามี $S_x \in F_x$.

Axiom 3 ของ Grothendieck Topology: สมมติว่าเรามี $S \in F_x$. และสมมติว่าเรามีตะแกรง$P$ บน $x$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$. แล้ว$P \in F_x$.

Axiom 3 ที่สอดคล้องกันของ PO-Grothendieck Topology: สมมติว่าเรามี $S \in F_x$. และสมมติว่าเรามี PO-sieve$P$ บน $x$ เซนต์สำหรับทุกคน $z \in S$, $P_z \in F_z$. แล้ว$P \in F_x$.

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ Generalized Topological Spaces อย่างไร? สมมติว่ากำหนดให้มีช่องว่างทั่วไป ชุดที่สั่งซื้อบางส่วน$P$ คือชุดของการเปิดที่เรียงลำดับโดย $\subseteq$. สมมติว่าได้รับคอลเลกชันบางส่วน$C$ของชุดเปิด กำหนด$f(C) = \{U $ เปิด$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. โปรดทราบว่าสำหรับทุก ๆ$C$, $f(C)$เป็น PO-sieve แล้วให้$U$ เปิดเราอาจกำหนด $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ และ $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.

ให้เราตรวจสอบว่าสิ่งนี้ทำให้เรามีโทโพโลยี PO-Grothendieck

สัจพจน์ 1: สิ่งนี้ตามมาจากความจริงที่ว่า $\{U\} \in cov_X$ เพื่อทุกสิ่ง $U$ - นั่นคือตามมาจากสัจพจน์ A3

สัจพจน์ 2: ตามมาจากสัจพจน์ A5

สัจพจน์ 3: ตามมาจากสัจพจน์ A6

ในที่สุดเราจะหันไปหาตัวอย่างของคุณ $\mathbb{N}$ด้วยชุดการแจกแจงแบบ "เปิด" ซ้ำและ "การปกปิด" การแจงนับซ้ำของชุดที่นับซ้ำได้ เนื่องจากสิ่งนี้เป็นไปตามสัจพจน์ A3, A5 และ A6 จึงสร้างโทโพโลยี PO-Grothendieck