ถ้า $f$ อย่างต่อเนื่องแล้ว $f$ iff ต่อเนื่องสม่ำเสมอ $|f|$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอ
ถ้า $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ อย่างต่อเนื่องแล้ว $f$ iff ต่อเนื่องสม่ำเสมอ $|f|$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอ
แผนที่ $f$ จากสเปซเมตริก $M=(M,d)$ ไปยังสเปซเมตริก $N=(N,\rho)$ กล่าวกันว่ามีความต่อเนื่องสม่ำเสมอหากสำหรับทุกๆ $\epsilon>0$มีอยู่ $\delta>0$ ดังนั้น $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ เมื่อใดก็ตาม $x,y \in M$ พอใจ $d(x,y)<\delta$.
ชัดเจนถ้า $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอแล้ว $|f|$ ต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็น $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$แต่ฉันมีปัญหาในการแสดงส่วนสนทนา ในภูมิภาคที่$f$ เป็นบวกหรือลบเสมอเราจะไม่มีปัญหา แต่จะจัดการกับจุดไหนได้อย่างไร $f$กำลังเปลี่ยนสัญญาณ ถ้าศูนย์ของ$f$ จำกัด แล้วเราสามารถใช้ขั้นต่ำทั้งหมดได้ $\delta$s และสรุปผล จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลขศูนย์ของ$f$ ไม่มีที่สิ้นสุด?
คำตอบ
ดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นหลักฐานที่ให้ไว้ในที่นี้อาจแก้ไขได้อย่างง่ายดายเพื่อให้ทำงานได้ทั้งหมด$\mathbb{R}^n$.
ตั้งแต่ $\lvert f \rvert$ มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอมี $\delta > 0$ ดังนั้น \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} โปรดทราบว่าถ้า $f(x)f(y) > 0$แล้ว \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} ซึ่งน้อยกว่า $\epsilon/2$ เมื่อใดก็ตาม $d(x,y) \leq \delta$. ไม่น่าแปลกใจที่กรณีนี้ค่อนข้างเป็นเรื่องเล็กน้อย ตอนนี้เราหันมาสนใจคดีที่ไหน$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. เนื่องจากมันมักจะยึดถือว่า\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} มันเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $\star$ หมายถึงการมีอยู่ของไฟล์ $z$ ดังนั้น $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ และ $f(z) = 0$. เพราะงั้น\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} เมื่อใดก็ตาม $d(x,y) \leq \delta$. ตั้งแต่$f$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องการดำรงอยู่ของความเหมาะสม $z$ ตามมาจากความต่อเนื่องของ $f$ และ $\star$(อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทคุณค่าระดับกลางดูเช่นที่นี่ )