ถ้า $fg$ ต่อเนื่องที่ $a$ แล้ว $g$ ต่อเนื่องที่ $a$.

Question

สมมติว่า $f$ และ $g$ ถูกกำหนดและมีมูลค่า จำกัด ในช่วงเวลาที่เปิดอยู่ $I$ ซึ่งประกอบด้วย $a$, นั่น $f$ ต่อเนื่องที่ $a$และนั่น $f(a) \neq 0$. ถ้า$fg$ ต่อเนื่องที่ $a$ แล้ว $g$ ต่อเนื่องที่ $a$.

$\underline{Attempt}$

ตั้งแต่ $f$ มีความหมายที่ $a$ และ $fg$ ต่อเนื่องที่ $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

ดังนั้น

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

ตั้งแต่ $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ ต่อเนื่องที่ $a$

Answer 1

หลักฐานของคุณไม่ถูกต้อง คุณกำลังสมมติว่ามีอยู่ของ$\lim_{ x \to a} g(x)$แต่คุณต้องพิสูจน์การมีอยู่ของขีด จำกัด นี้ เขียน$g(x)$ เช่น $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ สังเกตว่า $f(x) \neq 0$ ถ้า $|x-a| $มีขนาดเล็กพอ ตอนนี้คุณจะเห็นว่าขีด จำกัด มีอยู่และเท่ากัน$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[มีอยู่ $\delta >0$ ดังนั้น $|x-a| <\delta$ หมายถึง $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. ดังนั้น$|x-a| <\delta$ หมายถึง $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ และอื่น ๆ $f(x) \neq 0$].