ถ้า $M$ เป็นแบบจำลองคลาสมาตรฐานของ ZFC isomorphic ถึง $V$แล้วก็คือ $M = V$เหรอ?

Question

พิจารณาข้อความต่อไปนี้: (T) "ถ้า $M$ เป็นแบบจำลองคลาสมาตรฐานของ ZFC isomorphic ถึง $V$แล้ว $M = V$. "คำสั่ง (T) เทียบเท่ากับ:" ถ้าการยุบสกรรมกริยาของโมเดลคลาสมาตรฐาน $M$ ของ ZFC เท่ากับ $V$แล้ว $M = V$. "นี่เป็นเพราะการล่มสลายของคลาส $M$ เป็นคลาสสกรรมกริยาเฉพาะที่เป็นไอโซมอร์ฟิกที่ชาญฉลาดถึง $M$.

ตามโมเดลคลาสมาตรฐานของ ZFC ฉันหมายถึงโมเดลคลาสของ ZFC ที่มีความสัมพันธ์ขององค์ประกอบคือความสัมพันธ์ขององค์ประกอบที่แท้จริง

สมมติว่า ZFC สอดคล้องกัน ZFC พิสูจน์ (T) หรือไม่? ZFC หักล้าง (T) หรือไม่ ถ้าไม่มีทั้งสองอย่าง ZFC ที่มีความจริงของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่เพิ่มเติมจะหักล้าง (T) หรือไม่?

Answer 1

ไม่กำหนด $F:V\to V$ โดย $\in$- การบันทึกเป็น $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. อย่างชัดเจน$F(x)$ ไม่ว่างเปล่าสำหรับทุกคน $x$. นอกจากนี้$F$ เป็นแบบฉีด: ถ้า $F(x)=F(x')$จากนั้นโดยการเหนี่ยวนำ $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ เราอาจถือว่า $F$ กำลังฉีดอยู่ $x\cup x'$. ตั้งแต่$F(x)=F(x')$ เราต้องมี $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, แต่ตั้งแต่ $F$ กำลังฉีดอยู่ $x\cup x'$ โดยนัยนี้ $x$ และ $x'$ มีองค์ประกอบที่เหมือนกันดังนั้น $x=x'$. ยังชัดเจนอีกด้วย$y\in x$ หมายถึง $F(y)\in F(x)$และสนทนาตามมาจากการฉีดของ $F$.

เมื่อรวมกันทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่า $F$ คือ isomorphism จาก $(V,\in)$ ถึง $(M,\in)$ ที่ไหน $M$ เป็นภาพของ $F$. แต่$M\neq V$, ตั้งแต่ $\emptyset\not\in M$.