ทำไมจำนวน $\mathbb{F}_q$ คะแนนในระดับ $d$ เส้นโค้ง $C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$ ลดลงเป็น $n$ เพิ่มขึ้น?
คำถามนี้เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่ตรงกันข้าม (อย่างน้อยสำหรับฉัน) เกี่ยวกับจำนวนจุดบนเส้นโค้งที่คาดการณ์ไว้เหนือสนามที่ จำกัด กล่าวคือถ้าเราแก้ไขระดับของเส้นโค้ง แต่เพิ่มขนาดของพื้นที่ฉายภาพโดยรอบเราจะมีขอบเขตที่แน่นขึ้นกับจำนวน$\mathbb{F}_q$ จุดบนเส้นโค้งแม้ว่าจะมีจำนวนมากกว่าก็ตาม $\mathbb{F}_q$จุดในพื้นที่โดยรอบ ขอฉันทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยสองตัวอย่าง
ปล่อย $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ เป็นเส้นโค้งขององศา $d$. สมมติ$C$ ไม่ได้สร้างขึ้นใหม่ในแง่ที่ว่าไม่มีอยู่ในพื้นที่ฉายภาพที่เล็กกว่า $\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$, $k<n$.
แสดงผลงานของ Homma (ขยายผลงานของ Homma และ Kim) $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$ โดยมีข้อยกเว้นเพียงครั้งเดียว (ไม่เกิน isomorphism) $\mathbb{F}_4$. นี่คือสิ่งที่เรียกว่า Sziklai ผูกพันและแน่นสำหรับ$n=2$.
ขอบเขตนี้ไม่แน่นสำหรับ $n>2$; เมื่อเร็ว ๆ นี้ Beelen และ Montanucci แสดงให้เห็นว่าถ้า$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ เป็นสิ่งที่ไม่ก่อให้เกิดขึ้นในความเป็นจริง $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$ พวกเขาคาดเดาได้ดีกว่าถ้า $C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ขอบเขตทั่วไปควรเป็น $$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
นี่เป็นการระลึกถึงปรากฏการณ์จากผลงานของ Bucur และ Kedlaya ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งเรียบแบบสุ่มเข้า$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$ คาดว่าจะมี $$q+1$$ คะแนนมากกว่า $\mathbb{F}_q$เมื่อระดับของมันเพิ่มขึ้นจนไม่มีที่สิ้นสุด จุดตัดที่สมบูรณ์แบบสุ่มของสององศาที่ราบรื่น$d$ พื้นผิวใน $\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$ คาดว่าจะมี $$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$ คะแนนมากกว่า $\mathbb{F}_q$อีกครั้งเป็น $d\to\infty$.
ผลลัพธ์เหล่านี้สวนทางกับฉันเนื่องจากจำนวนจุดในพื้นที่ฉายภาพโดยรอบเพิ่มขึ้น (ทวีคูณ) ตาม $n$โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฉันดูเหมือนว่ามันควรจะง่ายกว่าสำหรับเส้นโค้งที่จะมี$\mathbb{F}_q$ชี้เมื่อฝังอยู่ในพื้นที่ฉายภาพขนาดใหญ่ ใครมีสัญชาตญาณว่าทำไมสิ่งที่ตรงกันข้ามควรเป็นจริง?
อ้างอิง:
Beelen และ Montanucci: จำนวนจุดของเส้นโค้งอวกาศเหนือเขตข้อมูล จำกัด
Bucur และ Kedlaya: ความน่าจะเป็นที่จุดตัดที่สมบูรณ์จะราบรื่น
Homma: ผูกไว้กับจำนวนจุดของเส้นโค้งในพื้นที่ฉายเหนือสนามที่ จำกัด
คำตอบ
วิธีหนึ่งที่จะได้รับสัญชาตญาณบางอย่างมาจากการมองไปที่ขอบเขตของ combinatorial (ที่อ่อนแอกว่า) สมมติว่าคุณมีเส้นโค้งที่ไม่เกิดขึ้น$C$ ในพื้นที่ฉายภาพ $\mathbb P^n$. สมมุติว่า$L$ เป็นพื้นที่ย่อยของ codimension $2$ ใน $\mathbb P$ และนั่น $|C\cap L|=m$. มิติที่สูงขึ้น$n$ ได้รับค่าที่สูงกว่าที่เราได้รับอนุญาตให้เลือก $m$. อย่างน้อยเราก็พบได้เสมอ$n-1$ ชี้เข้า $C$ ที่ครอบคลุม $\mathbb P^{n-2}$.
Bezout บอกคุณว่าสำหรับเครื่องบินไฮเปอร์เพลน $H$ ที่ประกอบด้วย $L$จำนวนจุดของ $C$ ที่อยู่ใน $H$ และอย่าโกหก $L$ มากที่สุด $d-m$. เนื่องจากจำนวนไฮเปอร์เพลนดังกล่าวคือ$q+1$เราได้รับโดยไม่ขึ้นกับมิติ $|C|-m\le (q+1)(d-m)$ หรือเทียบเท่าจากการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ $$|C|\le (d-m)q+d.$$ สำหรับ $m=n-1$ สิ่งนี้ทำให้เกิดความผูกพัน $|C|\le (d-n+1)q+d$ สำหรับเส้นโค้งที่ไม่เกิดขึ้นทั้งหมด $C$. แน่นอนว่าสิ่งนี้อ่อนแอกว่าการคาดเดาและทฤษฎีบทที่คุณกล่าวถึงในโพสต์ แต่ (1) ถือเป็นจริงสำหรับเส้นโค้งทั้งหมดรวมถึงเส้นที่ละเมิดขอบเขต Sziklai (2) ซึ่งแสดงปรากฏการณ์อยู่แล้ว "ขอบเขตแน่นขึ้นตาม$n$ ขึ้นไป".