ทำไม $x(t)$ ไม่เป็นระยะ แต่ $x[n]$ คือ?

Aug 17 2020

ฉันตรวจจับสัญญาณและระบบต่างๆแล้วและฉันก็เจอปัญหานี้

ตามความหมาย $x(t)$ หมายถึงสัญญาณเวลาต่อเนื่องและ $x[n]$ หมายถึงสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่อง

$x(t)$ เป็นระยะหากมีค่าคงที่ $T>0$ ดังนั้น $x(t) = x(t+T)$ เพื่อทุกสิ่ง $t$ เป็นส่วนย่อยของจำนวนจริง

$x[n]$ เป็นระยะหากมีค่าคงที่ $N>0$ ดังนั้น $x[n] = x[n+N]$ เพื่อทุกสิ่ง $n$ เป็นส่วนย่อยของจำนวนเต็ม

จากนั้นฉันก็เจอคำถามนี้: ทำไม $x(t)$ aperiodic?

$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$

งานที่ฉันทำมีดังนี้:

$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$

สมมติ $x(t) = x(t+T)$

กล่าวคือ $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$

$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $

พิจารณา $k$เป็นจำนวนเต็มไม่ใช่คาบนี้หรือ โปรดแจ้งให้เราทราบหากการคำนวณของฉันผิดพลาด

ขออภัยหากฉันโพสต์หัวข้อที่ไม่เกี่ยวข้องและขอขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ

คำตอบ

3 BrianMoehring Aug 17 2020 at 07:35

คุณได้แสดง *:

ถ้า $x(t)$ เป็นระยะแล้วก็มีบ้าง $T>0$ ดังนั้น $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ เป็นจำนวนเต็มสำหรับทุกจริง $t$.

* แก้ไข: ตามที่ @SHW ชี้ไว้ในความคิดเห็นสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง แต่มันควรจะเป็น

$x(t)$ เป็นระยะในกรณีที่มีบางส่วนเท่านั้น $T > 0$ เช่นนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ หรือ $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ เป็นจำนวนเต็มสำหรับทุกจริง $t.$

ตั้งแต่ $T \neq 0$มันควรจะเป็นที่ชัดเจนว่าจะมีบางส่วน $t$ ดังนั้นทั้งสองนิพจน์เหล่านั้นจะไม่ให้ค่าจำนวนเต็มแสดงว่า $x(t)$ ไม่เป็นระยะ

เพื่อพิสูจน์ทราบว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $k$มีของจริงที่ไม่เหมือนใคร $t$ ดังนั้น $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ และจำนวนจริงมากที่สุดสองจำนวน $t$ ดังนั้น $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ เนื่องจากมีจำนวนเต็มมากจึงมีจำนวนมาก $t$ เช่นนั้นอย่างน้อยหนึ่งใน $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ หรือ $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากมีจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วนจึงต้องมีจำนวนจริงอยู่บ้าง$t$ ดังนั้นทั้งสองนิพจน์จะไม่ให้ค่าจำนวนเต็ม

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นนี้แสดงให้เห็น $x(t)$ ไม่เป็นระยะ


ในทางกลับกันเราสามารถตั้งค่าเช่น $T=8$ เพื่อดูว่า $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อใดก็ตาม $t$ เป็นจำนวนเต็มแสดง $x[n]$ เป็นระยะ

2 S.H.W Aug 17 2020 at 08:09

ปล่อย $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. ถ้า$x(t)$ เป็นระยะด้วย $T$ จากนั้นก็มีอยู่ $T \gt 0$ ดังนั้น $x(t) = x(t+T)$ เพื่อทุกสิ่ง $t \in \mathbb{R}$. ดังนั้นในกรณีนี้เรามี$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$ถ้า $t = 0$ แล้ว $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. สร้างความแตกต่างทั้งสองฝ่ายและปล่อยให้$t = 0$ เรามี $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ มันหมายความว่า $T = 0$ หรือ $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. ไม่อนุญาตกรณีแรกดังนั้นเราจึงสรุปได้$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. หากเราแยกความแตกต่างครั้งแล้วครั้งเล่าให้$t = 0$ แล้ว $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ การรวมผลลัพธ์จะนำไปสู่ $T = 0$ ซึ่งไม่ได้รับอนุญาตตาม $T \gt 0$. แรงจูงใจในการใช้ความแตกต่างที่นี่ก็คือ$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ ซึ่งช่วยให้เราได้รับ $T$ ออกจาก $\cos$ฟังก์ชั่นและถึงความขัดแย้ง แน่นอนว่าคำตอบของ Brian นั้นสวยงามกว่ามากและไม่ต้องใช้การคำนวณอนุพันธ์