ทิศทางของแรงสู่ศูนย์กลางในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมแนวตั้งภายใต้แรงโน้มถ่วงสม่ำเสมอ
พิจารณาการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวตั้งของมวลจุดที่เชื่อมต่อกับศูนย์กลางด้วยเชือกแข็ง นี่คือแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ$m\vec{g}$ การกระทำ
ฉันแสดงสถานการณ์ในแผนภาพด้านล่าง
ที่นี่ถ้าเราเพิ่มเวกเตอร์ของ $\vec{T}$ และ $m\vec{g}$จากนั้นเราจะได้แรงสู่ศูนย์กลางของทิศทางแปลก ๆ มันควรจะพุ่งตรงไปที่จุดศูนย์กลางไม่ใช่หรือ?
ฉันจะสลายแรงโน้มถ่วงให้กลายเป็นส่วนประกอบในแนวรัศมีและเส้นสัมผัส ดูด้านล่าง
แล้วจะเกิดอะไรขึ้น $mg \sin \theta$ส่วนประกอบ? มันไม่รบกวนการเคลื่อนที่เป็นวงกลม?
- หมายเหตุ: ถ้าฉันพยายามทำให้แรงสุทธิตรงไปที่ศูนย์กลางฉันต้องจงใจเปลี่ยนทิศทางของความตึงและนั่นก็ดูแปลกมากสำหรับฉันเพราะเรากำลังพิจารณาวัตถุที่ถูก จำกัด ด้วยสตริง ดังนั้นถ้าเราทำให้มันเป็นแบบ "ธรรมชาติ" (ความตึงเข้าหาจุดศูนย์กลาง) เราจะพูดได้จริงหรือว่าวัตถุนั้นผ่านการเคลื่อนที่เป็นวงกลม?
- คำถามอื่น: ฉันเข้าใจว่าในสถานการณ์เช่นนี้ $mg \cos \theta$การเปลี่ยนแปลงขนาดของแรงรัศมีจะต้องเปลี่ยนไปและด้วยเหตุนี้ความเร็วของวัตถุจึงต้องเปลี่ยนไป เราคิดว่ามันเป็นท้องถิ่นวงกลมที่สำหรับความเร็ว$\vec{v}(t_1)$ ในช่วงเวลาหนึ่ง $t=t_1$, แรงสู่ศูนย์กลาง $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ ใช้ได้เฉพาะในช่วงเวลาเล็ก ๆ น้อย ๆ เท่านั้น $[t, t + dt]$เหรอ?
- สรุปคำถามสองข้อข้างต้น - เราสามารถพิจารณาได้ว่าเมื่อใดที่วัตถุอยู่ที่ด้านบนหรือด้านล่าง จากนั้นเราไม่ต้องคิดเกี่ยวกับส่วนประกอบของกองกำลังเพราะทั้งหมดอยู่ในแนวตั้งเดียวกัน จากนั้นเราสามารถโต้แย้งได้หรือไม่ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมในช่วงเวลาสั้น ๆ$[t, t + dt]$เหรอ?
คำตอบ
ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป $F_\text{net}=mv^2/r$. ใช้ได้กับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอเท่านั้น โดยทั่วไป$mv^2/r$เท่ากับส่วนประกอบของแรงสุทธิที่ชี้ไปที่ศูนย์กลางของวงกลม มีองค์ประกอบอื่นที่คุณควรพิจารณา: องค์ประกอบสัมผัสกับเส้นทางวงกลม
สำหรับการเคลื่อนที่แบบระนาบในพิกัดเชิงขั้วเราจะแบ่งแรงสุทธิออกเป็นสองส่วน: ศูนย์กลาง (หรือแนวรัศมี) และสัมผัส:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
ที่ไหน $r$ คือระยะทางจากแหล่งกำเนิด $\theta$คือมุมเชิงขั้วและจุดแสดงถึงอัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลง สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม$r$ เป็นค่าคงที่ดังนั้นกฎข้อที่สองของนิวตันจะลดลงเป็น
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
ดังนั้นสำหรับวัตถุของคุณที่เคลื่อนที่ในวงกลมแนวตั้งซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในสนามโน้มถ่วงคงที่เราสามารถดูองค์ประกอบทั้งสองได้ (สังเกตว่าค่าลบเป็นไปทางจุดกำเนิด) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$เปลี่ยนเฉพาะทิศทางของความเร็วเนื่องจากส่วนประกอบของแรงนี้ตั้งฉากกับความเร็วเสมอและ$F_\theta$เปลี่ยนเฉพาะขนาดของความเร็วเนื่องจากส่วนประกอบของแรงนี้ขนาน / ต่อต้านขนานกับความเร็วเสมอ
ขนาดของแรงสุทธิจะถูกกำหนดโดย $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
ซึ่งจะช่วยลด $mv^2/r$ สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ($\ddot\theta=0$และ $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
ข้างต้นจะช่วยบรรเทาความกังวลของคุณได้ว่าเรากำลังพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่เป็นวงกลมในพื้นที่เท่านั้น นี่เป็นเพียงการเคลื่อนที่แบบวงกลม ไม่ต้องนำเรื่องยุ่งยากเข้ามาโดยไม่จำเป็น
$mg\sin\theta$ไม่ได้มีส่วนทำให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลางมันคือความเร่งสัมผัสที่ให้กับมวล m มันทำให้ความเร็วของมวลลดลงในระหว่างการขึ้นและการเพิ่มขึ้นระหว่างการลดลง นี่ไม่ใช่กรณีของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ เนื่องจากภาวะแทรกซ้อนนี้โดยทั่วไปเราจึงใช้ทฤษฎีบทพลังงานในการทำงานเพื่อแก้คำถามที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อย่อยนี้ นอกจากนี้แรงสู่ศูนย์กลางไม่ใช่เวกเตอร์ที่เพิ่มของแรงโน้มถ่วงและความตึงเครียด แต่เป็นผลรวมของแรงที่พุ่งเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางจึงเท่ากับความตึง +$mg\sin\theta$ ซึ่งเป็น $mv^2/R$.