โทโพโลยีที่อ่อนแอ Banach space กับ dual แยกกันได้
ปล่อย $B$ เป็นพื้นที่ Banach ที่แยกออกจากกันได้ $(f_n)$ หนาแน่นและนับได้ $B^*$. ปล่อย$\tilde{\tau}$ เป็นโทโพโลยีเริ่มต้นที่เกี่ยวข้องกับการรวบรวมแผนที่ $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.
คำถามของฉัน : คือ$\tilde{\tau}$ โทโพโลยีที่อ่อนแอมาตรฐานเปิดอยู่ $B$เหรอ?
ความพยายามของฉัน :
ปล่อย $\tau$ แสดงถึงโทโพโลยีที่อ่อนแอบน $B$. เห็นได้ชัดว่า$\tau$ ทำให้ทั้งหมด $f_n$อย่างต่อเนื่อง ความเป็นอยู่$\tilde{\tau}$ น้อยที่สุดที่ทำเช่นนั้น $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$
ในทางกลับกันฉันพยายามหาเหตุผลด้วยพื้นฐานของโทโพโลยีดังกล่าว แก้ไขโดยพลการ$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ และ $g_1,...,g_N \in B^*$ และจำได้ว่า $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ เป็นย่านเปิดของ $x_0$ ใน $\tau$. เพื่อสรุปก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามีพื้นที่ใกล้เคียงเปิดอยู่$\tilde{U}$ ของ $x_0$ ใน $\tilde{\tau}$ ดังนั้น $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.
ฉันเดาว่าต้องจ่ายบ้าง $\tilde{\epsilon}$ ในการกำหนด $f_{n_i} \approx g_i$ เพื่อทุกสิ่ง $i=1,..,N$ และกำหนด $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$แต่ฉันกำลังดิ้นรนในการกำหนดระยะเวลา $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ สม่ำเสมอ $x$.
คำตอบ
ถ้า $(f_n)$ ควรจะหนาแน่นในบรรทัดฐานของ $B^{*}$มันค่อนข้างง่าย ปล่อย$f \in B^{*}$. มีอยู่$n_1<n_2<...$ ดังนั้น $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. ซึ่งหมายความว่า$f_{n_i} \to f$ สม่ำเสมอบนลูกบอลใด ๆ $B$. ตั้งแต่ละ$f_{n_i}$ คือ WRT ต่อเนื่อง $\overline {\tau}$ เป็นไปตามนั้น $f$ ยังเป็น WRT ต่อเนื่อง $\overline {\tau}$. ดังนั้นทุกๆ$f \in B^{*}$ คือ WRT ต่อเนื่อง $\overline {\tau}$. ดังนั้น$\tau \subset \overline {\tau}$.