ตรวจสอบว่า $f(x)=x^2$ มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในโดเมนที่กำหนด

Aug 18 2020

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องสม่ำเสมอในโดเมนที่กำหนดหรือไม่

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

ลองของฉัน:

สำหรับโดเมน $[0,\infty]$. ปล่อย$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

แล้ว $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

แต่, $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

แล้ว $f(x)=x²$ ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอในโดเมน $[0,\infty]$

สำหรับโดเมน $[0,1]$. ปล่อย$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

แล้ว $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

แต่, $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

แล้ว $f(x)=x²$ ไม่ต่อเนื่องสม่ำเสมอในโดเมน $[0,1]$

ฉันไม่แน่ใจว่าวิธีการของฉันถูกต้องหรือไม่ ข้อเสนอแนะใด ๆ จะดีมาก!

คำตอบ

2 TheSilverDoe Aug 18 2020 at 04:35

อีกวิธีหนึ่งในการดูว่าฟังก์ชั่นเปิดต่อเนื่องสม่ำเสมอ $[0,1]$ โดยที่ไม่ใช้ทฤษฎีบทของไฮน์คือการพิสูจน์ว่าพอใจคำจำกัดความของความต่อเนื่องสม่ำเสมอ

อันที่จริงให้ $\varepsilon > 0$. ปล่อย$\eta = \varepsilon/2$. เพื่อทุกสิ่ง$x,y \in [0,1]$ ดังนั้น $|x-y|<\eta$, คุณมี $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

ดังนั้นคำจำกัดความที่พอใจ

1 Vercassivelaunos Aug 18 2020 at 04:02

วิธีการของคุณสำหรับโดเมน $[0,\infty)$ถูกต้องและผลลัพธ์ของคุณก็ถูกต้องเช่นกัน แต่สำหรับโดเมน$[0,1]$มันไม่ได้ผลเนื่องจากคุณเลือก $x_n,y_n$ไม่ได้อยู่ในโดเมน แต่คุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนขนาดกะทัดรัดนั้นต่อเนื่องสม่ำเสมอ

1 inavda Aug 18 2020 at 04:01

มันต่อเนื่องสม่ำเสมออย่างแน่นอน $[0,1]$. โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันต่อเนื่องจะมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในชุดกะทัดรัด (ตามที่ @Bungo ระบุไว้ในความคิดเห็น)

เพื่อตอบคำถามในความคิดเห็น:

ตัวอย่างเช่นสำหรับใด ๆ $\varepsilon$ถ้าเราใช้ $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, เรามี $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

คำตอบของ PS @TheSilverDoe สะอาดกว่ามากดังนั้นฉันจะลองดู :)