วิธี det (A) = 0 หมายความว่าโซลูชันไม่ซ้ำกันอย่างไร [ซ้ำ]
คำตอบของสมการเมทริกซ์ Ax = b โดยที่ $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$
ไม่ซ้ำกันถ้าเวกเตอร์ $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นโดยคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์$$ \det A=0. $$อย่างไรก็ตามมันเป็นไปตามนั้นเสมอถ้า det A = 0 เวกเตอร์คอลัมน์ของ A จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือไม่? ใครสามารถแสดงหลักฐาน?
คำตอบ
ข้อพิสูจน์ที่เป็นไปได้อย่างหนึ่ง:
- สมมติว่าคอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น
- แปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบระดับคอลัมน์โดยเริ่มจากคอลัมน์สุดท้ายและย้อนกลับไป
- คุณทราบจำนวนคอลัมน์อิสระเชิงเส้นคือจำนวนคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่คุณลงท้ายด้วย อย่างไรก็ตามเนื่องจากคุณถือว่าคอลัมน์เป็นอิสระไม่มีคอลัมน์ศูนย์
- กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคุณได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดบนเส้นทแยงมุม ดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์
- อย่างไรก็ตามการแปลงพื้นฐานที่เราใช้เมื่อแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบระดับแถว / คอลัมน์ไม่ได้เปลี่ยนคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมให้เป็นศูนย์หรือไม่ใช่ศูนย์
- ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงไม่ใช่ศูนย์ที่จะเริ่มต้นด้วย
ถ้าคอลัมน์แรกทั้งหมด $0$ชัดเจน มิฉะนั้นให้พิจารณาแถวที่มีองค์ประกอบแรก$\ne 0$. ดัดให้มันกลายเป็นแถวแรก ดีเทอร์มิแนนต์ยังอยู่$0$ระบบจะเทียบเท่ากับก่อนหน้านี้ ตอนนี้ลดองค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์แรกให้ต่ำกว่าแถวแรก ปัจจัยยังคง$0$ระบบยังคงเทียบเท่า ตอนนี้ดูเมทริกซ์ที่เกิดจากการลบแถวและคอลัมน์แรก ดีเทอร์มิแนนต์คือ$0$. ใช้การเหนี่ยวนำหาวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์$(x_2, \ldots, x_n)$. ตอนนี้ใช้สมการแรกดั้งเดิมที่จะได้รับ$x_1$. ตอนนี้เรามีโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับทั้งระบบ