วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสำหรับการขยายเวลาความโน้มถ่วงสัมพัทธ์ของสนามโน้มถ่วงไดโพลาร์ที่เหนี่ยวนำ
ในgravitoelectromagnetism , ประมาณสัมพัทธภาพทั่วไปในวงเงินฟิลด์อ่อนแอสมการของไอน์สไตลดความซับซ้อนในรูปแบบคล้ายกับสมการของแมกซ์เวลล์ ในสนามนี้สนามโน้มถ่วงแบบดั้งเดิมเรียกว่าสนาม "กราวิโทอิเล็กทริก" และการเปลี่ยนแปลงสามารถทำให้เกิดสนามแม่เหล็กเทียบเท่ากับสนามแม่เหล็กสนามแม่เหล็กโน้มถ่วง ในทางกลับกันสนามแม่เหล็กโน้มถ่วงที่เปลี่ยนแปลงสามารถทำให้เกิดสนามแรงโน้มถ่วงได้
ที่สำคัญที่สนามแรงโน้มถ่วงที่เกิดจากสาขา gravitomagnetic สามารถdipolarกับเสาทั้งน่าสนใจและน่ารังเกียจ เมื่อคำนึงถึงสิ่งเหล่านี้และด้วยเงื่อนไขที่ว่าเนื่องจากฟิลด์เหล่านี้ไม่อนุรักษ์นิยม (เส้นสนามของสนามโน้มถ่วงที่เหนี่ยวนำจะเกิดลูปปิดเหมือนกับสนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำ) ดังนั้นข้อโต้แย้งตามปกติเกี่ยวกับศักยภาพของนิวตันจึงไม่สามารถใช้ได้:
การขยายเวลาความโน้มถ่วงสัมพัทธ์ของผู้สังเกตที่ตั้งอยู่ในแนวตั้ง 1 เมตรคืออะไร (ด้านที่น่ารังเกียจ) จากจุดศูนย์กลางของทอรัสซึ่งทำให้เกิดสนามโน้มถ่วงแบบไดโพลาร์ 100 กรัมเทียบกับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ไกลออกไป โดยเฉพาะเนื่องจากสนามนั้นน่ารังเกียจมันจะทำให้นาฬิกาของผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ใกล้กับพรูนั้นเร็วขึ้นเมื่อเทียบกับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่ไกลออกไปหรือไม่?
คำตอบ
สมมติว่าเรากำลังทำงานภายใต้การประมาณสนามที่อ่อนแอศักยภาพของแรงโน้มถ่วงควรมีรูปแบบ: $$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$ ฟิลด์ตามแกนแนวตั้งคือ: $$g=\frac{2n}{r^3}$$ ในการหาค่าของ n เราใช้ความจริงที่ว่า g = 100 ที่ r = 1 $$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$ การขยายเวลาความโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับศักย์โน้มถ่วง $$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$ ตอนนี้เพื่อหาอัตราที่เวลาผ่านไป ณ จุดดังกล่าว $$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$อย่างที่คุณเห็นเวลาผ่านไปเร็วกว่าจุดที่อยู่ไกลออกไปเล็กน้อย ระบุว่ามีศักยภาพ$50\frac{m^2}{s^2}$ฉันจะบอกว่าการประมาณสนามที่อ่อนแอนั้นใช้ได้ที่นี่