วิธีการหาลำดับของกลุ่มการเคลื่อนที่ที่แข็งของของแข็งที่สงบใน $\mathbb{R}^3$เหรอ?
สิ่งต่อไปนี้ปรากฏเป็นแบบฝึกหัดในพีชคณิตของ Dummit และ Foote (มาตรา $1.2$ - กลุ่ม Dihedral):
- ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มของการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดใน $\mathbb{R}^3$ของจัตุรมุข แสดงว่า$|G| = 12$
- ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มของการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดใน $\mathbb{R}^3$ของลูกบาศก์ แสดงว่า$|G| = 24$
- ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มของการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดใน $\mathbb{R}^3$ของแปดเหลี่ยม แสดงว่า$|G| = 24$
- ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มของการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดใน $\mathbb{R}^3$ของ dodecahedron แสดงว่า$|G| = 60$
- ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มของการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดใน $\mathbb{R}^3$ของ icosahedron แสดงว่า$|G| = 60$
จากคำตอบนี้ฉันพบว่าการเคลื่อนไหวที่แข็งเป็นไอโซเมตริกรักษาทิศทางกล่าวคือไม่อนุญาตให้มีการสะท้อนกลับ
ดังนั้นสำหรับจัตุรมุขฉันจึงนึกถึงแกนสมมาตรที่ผ่านจุดยอดและเซนทรอยด์ของใบหน้าตรงข้าม มีสี่แกนดังกล่าว (ขอเรียกว่า$A,B,C,D$). ในทุกแกนเราสามารถกำหนดได้$1_i, r_i, r_i^2$ เป็นสามรอบด้วย $r_i^3= 1$, องค์ประกอบประจำตัว ($i=A,B,C,D$). เนื่องจากมีสี่แกนดังกล่าว$|G| = 3\times 4 = 12$. ไม่เป็นไรหรือฉันพลาดอะไรไป ฉันกังวลเล็กน้อยเกี่ยวกับความจริงที่ว่า$1_A,1_B,1_C,1_D$ ทั้งหมดอาจจะเหมือนกัน (เนื่องจากเป็นการเปลี่ยนแปลงตัวตน) และฉันกำลังนับมากเกินไป?
คำถามเล็กน้อย (ทางอ้อม): การเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัวสอดคล้องกับแกนที่ต่างกันหรือไม่เหมือนกัน
สำหรับคิวบ์ฉันทำสิ่งต่อไปนี้:
- สำหรับใบหน้าตรงข้ามทุกคู่เรามีแกนสมมาตร มี$3$ คู่ดังกล่าวด้วยเหตุนี้ $3$ แกนดังกล่าว (พูด $A,B,C,D$). เกี่ยวกับแต่ละแกนที่เรากำหนด$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ ด้วย $r_i^4 = 1$ ที่ไหน $i=A,B,C,D$.
- มีสี่เส้นทแยงมุมของร่างกาย (พูด $E,F,G,H$) และเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมแต่ละเส้น (แกนสมมาตร) ที่เรากำหนด $1,r_j,r_j^2$ ด้วย $r_j^3= 1$ ที่ไหน $j=E,F,G,H$.
ในมุมมองของการคำนวณข้างต้นเรามี $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
การใช้วิธีนี้จะกลายเป็นเรื่องยากสำหรับของแข็งที่มีขนาดใหญ่กว่า ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะระบุแกนสมมาตรทั้งหมดด้วยมือ ยิ่งไปกว่านั้นกลุ่มเดียวที่ฉันได้เรียนรู้ในรายละเอียดในตอนนี้คือ$D_{2n}$ดังนั้นโปรดอย่าให้คำตอบเช่น"กลุ่มที่ต้องการ$G$ isomorphic สำหรับกลุ่มที่รู้จักและมีการศึกษาดี $X$และเรารู้ $|X| = ?$ ดังนั้น $|G| = ?$"
ฉันคิดว่าการมีวิธีที่ดีในการนับการเคลื่อนไหวที่ชัดเจนทั้งหมด มีใครช่วยฉันได้ไหม
ฉันเจอวิธีแก้ปัญหาของ James Ha ที่นี่แต่ฉันไม่เข้าใจว่าโซลูชันที่นำเสนอใน PDF นั้นเทียบเท่ากับของฉันได้อย่างไรแม้กระทั่งกรณีจัตุรมุขและคิวบ์ คงจะดีไม่น้อยถ้ามีคนช่วยฉันดูความเท่าเทียมและบอกวิธีดำเนินการกับของแข็งอื่น ๆ ให้ฉันด้วย! ขอบคุณมาก!
คำตอบ
หากต้องการเพิ่มรายละเอียดให้กับคำตอบที่มีอยู่และความคิดเห็นเพิ่มเติม:
ตามที่ส้มกล่าวถึงคุณสามารถอนุมานขนาดของกลุ่มสมมาตรได้จากจำนวนการเปลี่ยนแปลงระหว่างสองขอบ นี่คือวิธีที่จะทำให้เห็นสิ่งนี้ชัดเจนยิ่งขึ้น:
พิจารณาขอบกำกับบนรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยจุดยอดและขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดนั้น (หรือเทียบเท่าขอบที่มีจุดสิ้นสุดจุดใดจุดหนึ่งที่แตกต่างกัน) ถ้าเรามี$e$ ขอบแล้วเรามี $2e$ของขอบกำกับเหล่านี้ เนื่องจากเราใช้ Platonic solids ทุกอย่างจึงสามารถนำไปใช้อื่น ๆ ได้ (สิ่งนี้ค่อนข้างง่ายจากคำจำกัดความของ Platonic solid ส่วนใหญ่ แต่ควรใช้งานง่าย)
แต่เมื่อเรารู้ว่าขอบที่กำกับ $(v_1,e_1)$ ไปที่ขอบกำกับอื่น $(v_2,e_2)$เราได้ระบุการหมุนเวียนอย่างสมบูรณ์: เมื่อเราย้าย $v_1$ ถึง $v_2$เราได้ จำกัด การหมุนที่เป็นไปได้ให้อยู่ในแกนเดียวรอบ ๆ ที่สิ่งต่างๆสามารถหมุนได้ (เนื่องจากเรามีจุดที่ไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ในขณะนี้) และมีเพียงวิธีเดียวเท่านั้นที่จะหมุนได้ $e_1$ ถึง $e_2$.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งนั่นหมายความว่าการหมุนจะถูกระบุโดยไม่ซ้ำกันโดยใช้ขอบกำกับเดียว ตั้งแต่แต่ละไฟล์$2e$ ความเป็นไปได้ทำให้เกิดการหมุนเวียนที่ไม่เหมือนใครต้องมี $2e$ จำนวนการหมุนเวียนที่เป็นไปได้
(ถ้าเราอนุญาตให้มีการเปลี่ยนทิศทางกลับทิศทางจะมีมากเป็นสองเท่าสำหรับทุกวิธีที่จะนำขอบไปยังอีกทางหนึ่งเราจะได้รับการเปลี่ยนแปลงครั้งที่สองซึ่งแก้ไขขอบกำกับนั้นโดยการไตร่ตรองเกี่ยวกับมัน)
สำหรับการแปลงเอกลักษณ์ที่ยึดแกนสิ่งเหล่านี้เป็นการแปลงเอกลักษณ์เดียวกันทั้งหมด พวกเขาปล่อยให้รูปร่างไม่เปลี่ยนแปลง
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในการสะกดประเภทของการหมุน (การรักษาทิศทาง) ที่เป็นไปได้สำหรับของแข็งที่เป็นไปได้แต่ละแบบ:
สำหรับของแข็งที่สงบทุกครั้งการหมุนที่เป็นไปได้อาจเป็นการหมุนที่ไม่สำคัญเกี่ยวกับจุดยอด, ก $180^\circ$ การหมุนรอบขอบการหมุนที่ไม่สำคัญเกี่ยวกับใบหน้าหรือการเปลี่ยนแปลงตัวตน
สำหรับจัตุรมุขใบหน้าอยู่ตรงข้ามกันดังนั้นจึงมี $4\cdot (3-1)$ จุดยอดที่ไม่สำคัญ / การหมุนใบหน้า $1$ เอกลักษณ์และ $3$ ขอบพลิก ($6$ ขอบ แต่ใช้สองครั้งต่อการพลิก) รวมเป็น $12$.
สำหรับคิวบ์ก็มี $8\cdot (3-1)/2$ การหมุนจุดสุดยอด $6\cdot(4-1)/2$ การหมุนใบหน้า $12/2$ ขอบพลิกและ $1$ ข้อมูลประจำตัวรวมเป็น $24$.
สำหรับรูปแปดหน้าก็มี $6\cdot(4-1)/2$ การหมุนจุดสุดยอด $8\cdot (3-1)/2$ การหมุนใบหน้า $12/2$ ขอบพลิกและ $1$ ข้อมูลประจำตัวรวมเป็น $24$.
สำหรับ dodecahedron ก็มี $20\cdot(3-1)/2$ การหมุนจุดสุดยอด $12\cdot(5-1)/2$ การหมุนใบหน้า $30/2$ ขอบพลิกและ $1$ ข้อมูลประจำตัวรวมเป็น $60$.
สำหรับไอโคซาเฮดรอนมี $12\cdot(5-1)/2$ การหมุนจุดสุดยอด $20\cdot(3-1)/2$ การหมุนใบหน้า $30/2$ ขอบพลิกและ $1$ ข้อมูลประจำตัวรวมเป็น $60$.
ไม่มีสิ่งใดทดแทนการตัดสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูปออกจากกระดาษแข็งแล้วติดเทปเข้าด้วยกันเพื่อสร้างจัตุรมุข เมื่อคุณทำเสร็จแล้วให้วางปลายนิ้วตรงกลางขอบและอีกปลายนิ้วที่กึ่งกลางของขอบด้านตรงข้าม จากนั้นหมุนจัตุรมุขเกี่ยวกับแกนเข้ากับปลายนิ้วของคุณ คุณควรพบว่า a$180^\circ$การหมุนทำให้จัตุรมุขกลับมาหาตัวเอง จากประสบการณ์ของฉันสิ่งนี้ยากที่จะมองเห็นได้จนกว่าคุณจะทำสำเร็จ
ขอบตรงข้ามมีสามคู่และด้วยเหตุนี้สามคู่ $180^\circ$การหมุนเวียน เหล่านี้พร้อมกับเอกลักษณ์และแปดรอบของ$\pm120^\circ$ เกี่ยวกับแกนต่างๆที่เชื่อมระหว่างเซนทรอยด์ของใบหน้าไปยังจุดยอดตรงข้ามสำหรับสมมาตรแบบหมุนทั้งหมดของจัตุรมุข
Platonic ของแข็งอื่น ๆ มีลักษณะคล้ายกัน $180^\circ$การหมุนเวียน แต่ถ้าคุณต้องการเพียงแค่การนับคุณสามารถทำสิ่งที่ง่ายกว่านี้ได้ เริ่มต้นโดยหันหน้าของของแข็งหันเข้าหาคุณโดยมีการวางแนวคงที่ (พูดตามแนวนอน) ถ้าเป็นไฟล์$m$- หันหน้ามี $m$ ขอบที่อาจเป็นแนวนอนและเหล่านี้ $m$การวางแนวทั้งหมดสามารถหาได้จากกันโดยการหมุนไปที่กึ่งกลางของใบหน้า ทีนี้ถ้าของแข็งมี$f$ ใบหน้าใด ๆ ของ $f$สามารถนำไปที่ตำแหน่ง "หันหน้าเข้าหาคุณ" ได้โดยการหมุน ดังนั้นควรมี$mf$สมมาตรแบบหมุน บัญชีนี้สำหรับทุกสิ่ง
คำตอบของ orangeskid นั้นคล้ายกัน แต่ง่ายกว่าอันนี้ เริ่มต้นโดยหันขอบเข้าหาคุณโดยวางแนวนอน ปล่อยให้ระนาบแนวนอนที่มีขอบนี้เป็นขนาดที่แบ่งครึ่งของมุมไดฮิดรัลระหว่างใบหน้าทั้งสองที่บรรจบกันตามขอบนั้น (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจากมุมมองของคุณใบหน้าทั้งสองที่เอียงออกจากตัวคุณจะปรากฏเท่ากัน) ตอนนี้คุณสามารถทำ$180^\circ$การหมุนที่กล่าวถึงข้างต้น แต่คุณยังสามารถนำขอบอื่น ๆ ของของแข็งไปที่ตำแหน่ง "หันเข้าหาคุณ" ได้โดยการหมุน ดังนั้นมี$2e$ สมมาตร
สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมใน $3$ คุณสามารถแสดงให้เห็นว่ามีขอบ $a$ สามารถนำไปอีกขอบหนึ่ง $b$ โดย $2$ การวางแนว - รักษาการเปลี่ยนแปลงของของแข็ง (รับหนึ่งจากนั้นสามารถหมุนไปรอบ ๆ ได้ $b$). หากคุณพิจารณาการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดก็มี$4$ transformations.transformations ดังกล่าว
ดังนั้น, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, ที่ไหน $e$ คือจำนวนขอบของ $S$.